Matematik
Analitik Geometri — Koordinat Düzleminde Nokta, Doğru ve Üçgen
Koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık, orta nokta, doğrunun eğimi ve denklemi, paralellik–diklik ilişkileri ile üçgen alanını koordinatlar üzerinden hesaplama.
12 dk okuma · 8 bölüm
Koordinat Düzlemi ve Temel Kavramlar
Analitik geometri, geometrik nesneleri (nokta, doğru, üçgen) koordinatlarla ifade edip cebirsel olarak inceler. Düzlemde her nokta bir sıralı ikili (x, y) ile gösterilir: x apsis (yatay), y ordinattır (dikey). Eksenlerin kesişimi O(0, 0) başlangıç noktasıdır.
- x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı 0'dır: (a, 0).
- y ekseni üzerindeki noktaların apsisi 0'dır: (0, b).
- Bir doğrunun x eksenini kestiği nokta (y = 0 yazılarak), y eksenini kestiği nokta (x = 0 yazılarak) bulunur.
Uzaklık ve Orta Nokta
İki nokta A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) verildiğinde:
| Büyüklük | Formül |
|---|---|
| İki nokta arası uzaklık | |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
| Orta nokta (M) | M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2) |
Uzaklık örneği: A(1, 2), B(4, 6) → |AB| = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Orta nokta örneği: A(−2, 3), B(6, 1) → M = ((−2+6)/2 , (3+1)/2) = (2, 2).
Not: Orta noktada koordinatlar toplanıp 2'ye bölünür; uzaklıkta ise farklar karelenir. Bu ikisi karıştırılmamalıdır.
Eğim (m)
Bir doğrunun eğimi, iki noktası A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) yardımıyla:
m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- Eğim pozitifse doğru sağa yukarı, negatifse sağa aşağı gider.
- Yatay doğru (y = sabit) → m = 0.
- Dikey doğru (x = sabit) → eğim tanımsızdır (Δx = 0, paydada 0).
Standart formdaki (Ax + By + C = 0) bir doğrunun eğimi m = −A/B ile de bulunur.
Örnek: A(2, −1), B(5, 5) → m = (5 − (−1)) / (5 − 2) = 6 / 3 = 2.
Doğru Denklemi (Eğim–Kesim Formu)
Eğimi m ve y eksenini (0, b) noktasında kesen doğrunun denklemi:
y = m·x + b
Burada b, doğrunun y eksenini kestiği değerdir (ordinatı). Eğim m ile bir A(x₁, y₁) noktası verilirse doğru: y − y₁ = m·(x − x₁) ile yazılır ve düzenlenerek y = m·x + b biçimine getirilir.
Örnek: Eğimi 3 olan ve (1, 2) noktasından geçen doğru: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 3 + 2 → y = 3x − 1. Buradan b = −1, yani y eksenini (0, −1)'de keser.
Eksen kesimleri: y = 3x − 1 doğrusu için x eksenini kesim → y = 0: 0 = 3x − 1 → x = 1/3, nokta (1/3, 0).
Paralel ve Dik Doğrular
İki doğrunun eğimleri m₁ ve m₂ olsun:
| İlişki | Koşul |
|---|---|
| Paralel | m₁ = m₂ (eğimler eşit) |
| Dik (90°) | m₁ · m₂ = −1 |
Dik doğrunun eğimi, verilenin ters işaretli tersidir: m₁ = 2 ise dik doğrunun eğimi m₂ = −1/2'dir.
Örnek: y = 2x + 5 doğrusuna dik olan ve (0, 3)'ten geçen doğru: dik eğim −1/2, b = 3 → y = −(1/2)x + 3.
Koordinatlarla Üçgen Alanı
Köşeleri A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) olan üçgenin alanı:
Alan = (1/2) · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
Mutlak değer, alanın negatif çıkmamasını sağlar (köşe sırasına göre işaret değişebilir).
Örnek: A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3) → Alan = (1/2)·|0(0−3) + 4(3−0) + 0(0−0)| = (1/2)·|12| = 6. (Bu dik üçgende taban 4, yükseklik 3 olduğundan (1/2)·4·3 = 6 ile aynı.)
Sık Yapılan Hatalar
- Eğimi ters yazmak: m = Δy/Δx'tir; Δx/Δy yazmak yaygın hatadır.
- Dik doğruda yalnız işaret ya da yalnız ters çevirmek: m₁ = 3 için dik eğim −1/3'tür; sadece −3 veya sadece 1/3 yanlıştır.
- Uzaklık ile orta noktayı karıştırmak: Uzaklıkta fark karelenir; orta noktada toplam 2'ye bölünür.
- Negatif koordinatlarda işaret hatası: (y₂ − y₁) = (6 − (−2)) = 8'dir; parantez içi çıkarma dikkatle yapılmalı.
- Alanda mutlak değeri unutmak: Köşe sırası ters ise sonuç negatif çıkar; mutlak değer alınmazsa alan yanlış işaretli olur.
KPSS İpucu
KPSS'de analitik geometri genelde eğim + doğru denklemi ya da paralel/dik kurgusundadır. Şu refleksleri kur: "paralel" görünce eğimleri eşitle; "dik" görünce m₁·m₂ = −1 kur; "y eksenini kesim" → x = 0 yaz; "x eksenini kesim" → y = 0 yaz. Üçgen alanı sorusunda bir kenar eksene paralelse (taban·yükseklik)/2 daha hızlıdır; değilse koordinat alan formülünü uygula. Negatif koordinatlarda parantezleri asla atlama.