Matematik
Üslü Sayılar — Kurallar, Kesirli Üs, Taban Eşitleme ve Bilimsel Gösterim
Üs kurallarının (çarpım, bölüm, üssün üssü), negatif ve sıfır üssün, kesirli üs–kök dönüşümünün, taban eşitleme ile denklem çözmenin ve bilimsel gösterimin kuralları ve KPSS tuzakları.
12 dk okuma · 7 bölüm
Üslü Sayı Nedir?
Bir aⁿ ifadesinde a tabana (çarpılan sayı), n üsse (kaç kez çarpıldığı) denir. Tanımı: aⁿ = a × a × a × ... × a (n tane a).
Örnek: 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Burada taban 2, üs 5'tir. Dikkat: 2⁵ ile 2×5 = 10 aynı şey değildir.
İşaret kuralı (negatif taban):
- Taban parantez içindeyse üs tabana ait olur: (−2)⁴ = +16, (−2)³ = −8.
- Taban parantezsizse üs yalnızca sayıya ait olur, eksi dışarıda kalır: −2⁴ = −(2⁴) = −16.
- Kural: (−a) ifadesinde üs çift ise sonuç pozitif, üs tek ise sonuç negatif olur.
Temel Üs Kuralları (Tablo)
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Aynı tabanlı çarpım | aᵐ × aⁿ = a^(m+n) | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Aynı tabanlı bölüm | aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n) | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ |
| Üssün üssü | (aᵐ)ⁿ = a^(m×n) | (3²)⁴ = 3⁸ |
| Çarpımın üssü | (a×b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2×5)³ = 2³×5³ |
| Bölümün üssü | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| Sıfır üs | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Negatif üs | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
Kritik uyarı: (aᵐ)ⁿ = a^(m×n) iken aᵐ × aⁿ = a^(m+n)'dir. Üsler üssün üssünde çarpılır, çarpımda toplanır. En sık karışan nokta budur.
Ayrıca a⁰ = 1 yalnızca a ≠ 0 için geçerlidir; 0⁰ tanımsızdır.
Negatif ve Kesirli Üs (Köke Çevirme)
Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini (1 bölü kendisi) alıp üssü pozitife çevirir:
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
- (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 (negatif üste kesir ters çevrilir)
Kesirli üs, kök demektir. Genel kural: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ.
- 8^(1/3) = ³√8 = 2
- 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8
- 8^(−2/3) = 1/(8^(2/3)) = 1/(³√8)² = 1/2² = 1/4
İpucu: Kesirli üste payda kökün derecesi, pay içerideki üstür. Tabanı asal çarpanlarına ayır: 16 = 2⁴ yaparsan 16^(3/4) = 2^(4·3/4) = 2³ = 8; işlem kısalır.
Taban Eşitleme ile Denklem ve Ortak Parantez
Taban eşitleme: Bir üslü denklemde iki taraf da tek bir asal tabana çevrilebiliyorsa, tabanlar eşitken üsler de eşittir.
- Örnek: 4^(x−1) = 8^(x+1) → 2^(2x−2) = 2^(3x+3) → 2x−2 = 3x+3 → x = −5.
Ortak parantez: Taban eşitlenemeyen, aynı tabanlı ama üsleri ardışık terimlerin toplamı/farkı varsa en küçük üslü terimi paranteze al.
- Örnek: 3^(x+1) + 3^x = 108 → 3^x(3 + 1) = 108 → 3^x × 4 = 108 → 3^x = 27 → x = 3.
- Örnek: 2^(n+3) − 2^(n+1) = 2^(n+1)(2² − 1) = 2^(n+1) × 3.
Bilimsel Gösterim
Çok büyük/çok küçük sayılar a × 10ⁿ biçiminde yazılır; burada 1 ≤ a < 10 olmalıdır (a tek basamaklı, ondalık olabilir).
- 34000 = 3,4 × 10⁴ (virgül 4 basamak sola gitti → üs +4)
- 0,00034 = 3,4 × 10⁻⁴ (virgül 4 basamak sağa gitti → üs −4)
Bilimsel gösterimde işlem: (a×10ᵐ) × (b×10ⁿ) = (a×b) × 10^(m+n); bölmede üsler çıkarılır.
- (6×10⁻³) × (2×10⁵) = 12 × 10² = 1,2 × 10³ = 1200.
Sık Yapılan Hatalar
- −2⁴ = −16 iken (−2)⁴ = +16 karıştırılır (parantez var/yok).
- Üssün üssünde üsleri toplamak (doğrusu çarpmak): (3²)⁴ = 3⁸, 3⁶ değil.
- Negatif üste kesri ters çevirmeyi unutmak: (2/3)⁻² = 9/4, 4/9 değil.
- Bilimsel gösterimde 0'ları sayarken üssün işaretini ters vermek (küçük sayıda üs negatif).
- 0⁰ = 1 sanmak (tanımsızdır); a⁰ = 1 yalnızca a ≠ 0.
KPSS İpucu
Soru "sadeleştir" diyorsa tüm tabanları asal çarpanlarına ayır (4=2², 8=2³, 9=3², 27=3³, 16=2⁴); tek tabana indirgemek işlemi kısaltır. Denklem çözerken önce taban eşitlemeyi dene, olmuyorsa ortak paranteze bak. Değer sorularında (örn. 2ˣ = 5 verilip 8ˣ isteniyorsa) 8ˣ = (2ˣ)³ = 5³ = 125 gibi verilen ifadenin üssünü kullan; x'i hesaplamaya çalışma.