Matematik
Olasılık — Örnek Uzay, Sayma ve Bileşik Olaylar
Bir olayın gerçekleşme şansını, örnek uzay ile istenen durum sayısını sayma yöntemleriyle (permütasyon–kombinasyon) hesaplama ve ve/veya, tümleyen, koşullu durumları çözme.
13 dk okuma · 6 bölüm
Temel Kavramlar: Örnek Uzay ve Olay
Bir rastgele deneyin (zar atma, para atma, kutudan top çekme) tüm olası sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve genellikle E ile gösterilir. Örnek uzayın eleman sayısı s(E) ile yazılır.
Bir olay, örnek uzayın bir alt kümesidir; istenen sonuçların kümesidir (A). Bir olayın olasılığı:
P(A) = istenen durum sayısı / mümkün tüm durum sayısı = s(A) / s(E)
Temel kurallar:
- Her olasılık 0 ile 1 arasındadır: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Kesin olay (mutlaka gerçekleşir) → P = 1; imkânsız olay → P = 0.
- Bir zar için s(E) = 6; iki zar için s(E) = 6 × 6 = 36; bir para için s(E) = 2; 52'lik deste için s(E) = 52.
Sayma: Permütasyon ve Kombinasyon
İstenen durum sayısını bulmak için sayma gerekir. İki temel araç vardır:
| Kavram | Formül | Ne zaman? |
|---|---|---|
| Permütasyon | P(n,r) = n! / (n−r)! | Sıra ÖNEMLİ (dizilim, sıralama) |
| Kombinasyon | C(n,r) = n! / [r!·(n−r)!] | Sıra ÖNEMSİZ (seçim, grup) |
| Çarpma yolu | m × n | Ardışık bağımsız seçimler |
Kombinasyon örneği: 8 kişiden 3 kişilik komite kaç türlü seçilir? C(8,3) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56.
Not: Kutudan "aynı anda" veya "birlikte" çekme → kombinasyon (sıra yok). "Birinci, ikinci" gibi sıralı çekme → permütasyon.
Bileşik Olaylar: Ve / Veya, Tümleyen
"Ve" (birlikte gerçekleşme): Bağımsız olaylarda P(A ve B) = P(A) × P(B). Örnek: Bir zarda 5 gelme VE parada yazı gelme = (1/6) × (1/2) = 1/12.
"Veya" (en az biri): P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B). Ayrık (birlikte olamayan) olaylarda P(A ve B) = 0 olduğundan P(A veya B) = P(A) + P(B). Örnek: Bir zarda "çift gelme veya 3 gelme" ayrık olmadığından dikkat; ama "çift gelme veya 5 gelme" ayrık: 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
Tümleyen (A′): A olayının gerçekleşmemesi. P(A′) = 1 − P(A). Bu kural özellikle "en az bir" problemlerinde altın anahtardır:
P(en az bir) = 1 − P(hiçbiri)
Çözümlü Örnekler
Örnek 1 (Kutudan çekme): İçinde 4 kırmızı, 6 mavi top olan kutudan aynı anda 2 top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı?
- Toplam çekme yolu: C(10,2) = (10×9)/2 = 45.
- İki kırmızı: C(4,2) = (4×3)/2 = 6.
- P = 6/45 = 2/15.
Örnek 2 (En az bir): Bir para 3 kez atılıyor. En az bir tura gelme olasılığı?
- Hiç tura gelmeme (hepsi yazı): (1/2)³ = 1/8.
- P(en az bir tura) = 1 − 1/8 = 7/8.
Örnek 3 (İki zar toplamı): İki zar atılıyor, üste gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı?
- s(E) = 36. Toplamı 7 yapanlar: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 durum.
- P = 6/36 = 1/6.
Sık Yapılan Hatalar
- Sıralı/sırasız karıştırmak: "Aynı anda 2 top" sırasız (kombinasyon). Permütasyon kullanmak paydayı ve payı birlikte 2 katına çıkarır; oran değişmese de tek tarafı değiştirmek hataya yol açar.
- "En az bir"i doğrudan saymaya çalışmak: Uzun ve hataya açıktır; tümleyen kullan.
- "Veya"da kesişimi çıkarmayı unutmak: Ayrık olmayan olaylarda P(A)+P(B) fazla sayar; P(A ve B) çıkarılmalı.
- Çekilen topu geri koymak/koymamak: "Geri konularak" → her çekişte s(E) sabit ve olaylar bağımsız; "geri konulmadan" → ikinci çekişte payda 1 azalır.
- İki zarı tek zar gibi saymak: (2,5) ile (5,2) farklı durumlardır; s(E)=36'dır, 21 değil.
KPSS İpucu
KPSS'de olasılık soruları çoğu zaman kombinasyon + oran kurgusundadır. Şu refleksleri geliştir: "aynı anda/birlikte" → kombinasyon; "en az bir / hiç değil" → tümleyen; "ve" → çarpma; "veya" → toplama (kesişimi çıkar). Payda genelde C(n,2) veya C(n,3) çıkar; sadeleştirmeyi son adıma bırak, aritmetik hatasını azaltır.