Matematik
Yaş Problemleri — Zaman Ekseninde Kişileri Kurmak
Yaş problemleri, yaş farkının zamanla değişmemesini ve geçmiş/gelecek ifadelerini tek bir denklemde birleştirme becerisini ölçer. Bu notta farkın sabitliğini, zaman ekseni kurmayı ve yaşlar toplamı-oranı sorularını çözmeyi öğreneceksin.
11 dk okuma · 7 bölüm
Temel Kavram: Yaş Farkı Sabittir
Yaş problemlerinin bel kemiği tek bir gerçektir: iki kişinin yaş farkı zamanla değişmez. Bugün aralarında 8 yaş fark olan iki kişi, 5 yıl önce de 8 yaş, 20 yıl sonra da 8 yaş farklı olacaktır. Çünkü zaman geçtikçe her ikisinin de yaşı aynı miktarda artar.
- Bir kişinin bugünkü yaşı x ise, t yıl sonra yaşı x + t, t yıl önce yaşı x − t olur.
- İki kişinin yaşları x ve y ise, fark = x − y her zaman aynıdır. Ama oran = x / y yıl geçtikçe 1'e yaklaşır; asla sabit kalmaz.
Bu yüzden "kaç yıl sonra yaşları oranı 3/2 olur?" gibi bir soruda farkı sabit tutup oranı denkleme koyarsın.
Kurallar ve Formüller
Aşağıdaki tablo en sık kullanılan kalıpları özetler (A ve B kişilerinin bugünkü yaşları a ve b):
| İfade | Denklem |
|---|---|
| A, B'den k yaş büyük | a = b + k |
| A'nın yaşı B'nin k katı | a = k × b |
| t yıl sonra A'nın yaşı | a + t |
| t yıl önce A'nın yaşı | a − t |
| t yıl sonra yaşları oranı m/n | (a + t) / (b + t) = m/n |
| İki kişinin bugünkü yaşları toplamı | a + b |
| n kişinin t yıl sonraki yaşları toplamı | (bugünkü toplam) + n × t |
| n kişinin yaş ortalaması T ise toplam | n × T |
Önemli: Bir gruba yeni biri katılırsa/gruptan biri çıkarsa ortalama sorularında "kişi sayısı × ortalama = toplam" bağıntısını kullan; katılan kişinin yaşı = yeni toplam − eski toplam.
Çözümlü Örnek 1: Farkı Sabit Tutmak
Baba bugün 40, oğlu 10 yaşındadır. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?
- t yıl sonra: baba 40 + t, oğul 10 + t.
- Kurulum: 40 + t = 3 × (10 + t)
- 40 + t = 30 + 3t → 40 − 30 = 3t − t → 10 = 2t → t = 5.
- Kontrol: 5 yıl sonra baba 45, oğul 15; 45 = 3 × 15. Doğru.
Çözümlü Örnek 2: Geçmiş ve Şimdiyi Birlikte Kurmak
Bir annenin bugünkü yaşı, kızının 6 yıl önceki yaşının 4 katıdır. Anne kızından 27 yaş büyüktür. Kızın bugünkü yaşı kaçtır?
- Kızın bugünkü yaşı k olsun. Kızın 6 yıl önceki yaşı k − 6.
- Anne bugün = 4 × (k − 6). Ayrıca anne = k + 27.
- 4(k − 6) = k + 27 → 4k − 24 = k + 27 → 3k = 51 → k = 17.
- Kontrol: Kız 17, anne 44 (17 + 27). 6 yıl önce kız 11; 4 × 11 = 44. Doğru.
Çözümlü Örnek 3: Yaşlar Toplamı ve Zaman
İki kardeşin bugünkü yaşları toplamı 20'dir. 5 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?
- 2 kişi olduğu için 5 yıl sonra toplam 2 × 5 = 10 artar.
- 20 + 10 = 30. (Yaygın hata: sadece +5 ekleyip 25 demek — her iki kardeşe de 5 eklenmeli.)
Sık Yapılan Hatalar
- Herkese eklemeyi unutmak: "t yıl sonra" derken yalnız bir kişinin yaşını artırıp diğerini sabit bırakmak. Zaman herkes için akar.
- Toplamda kişi sayısını atlamak: n kişinin t yıl sonraki toplamı için +t değil +n×t eklenir.
- Oranı sabit sanmak: Yaş farkı sabittir; oran değildir. "Bugün oran 2 ise sonra da 2'dir" yanlıştır.
- Geçmiş ifadesini yanlış yöne kaydırmak: "x yıl önce" için yaştan çıkarılır, eklenmez; "yıl önceki yaşının katı" ifadesinde katı ALDIĞIN yaş geçmiş yaştır (k − x), bugünkü değil.
- Farkı yanlış tanımlamak: "A, B'den 3 kat yaşlı" (a = 3b) ile "A, B'den 3 yaş büyük" (a = b + 3) çok farklıdır; "kat" çarpma, "yaş büyük" toplamadır.
KPSS İpucu
- Soruyu tek bir bilinmeyene indirgemeye çalış: genelde en küçük yaşı x seç, diğerlerini x cinsinden yaz.
- Zaman eksenini açıkça belirle: "geçmiş — bugün — gelecek" sütunları çizip her kişinin her zamandaki yaşını yerleştirmek işaret hatasını önler.
- "Yaşları oranı m/n ve farkları d" verilirse hızlı yol: fark m − n birime karşılık d yaşa denk gelir; 1 birim = d / (m − n). Örneğin oran 5/3, fark 8 ise 1 birim 8/2 = 4; yaşlar 20 ve 12.
- Cevabı bulunca mutlaka soruda geçen tüm koşullara geri koy; yaş problemlerinde çoğu tuzak, bir koşulu sağlayıp diğerini ihlal etmene dayanır.