Bağıntı ve Fonksiyon — Tanım, f(x), Bileşke ve Ters Fonksiyon

Sıralı ikili: (a, b) biçimindeki, sırası önemli olan ikilidir. (a, b) ≠ (b, a) (a ≠ b iken).

Kartezyen çarpım: A ve B kümeleri için A × B, birincisi A'dan, ikincisi B'den seçilen tüm (a, b) ikililerinin kümesidir. s(A) = m, s(B) = n ise s(A × B) = m × n olur.

Bağıntı: A × B'nin herhangi bir alt kümesidir. Yani her bağıntı, sıralı ikililerden oluşan bir listedir.

Fonksiyon: A'dan B'ye tanımlı bir f bağıntısının fonksiyon olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:

1. Her elemanın görüntüsü olmalı: A'daki (tanım kümesi) HER eleman B'den bir eleman ile eşleşmeli. Açıkta A elemanı kalmamalı.
2. Görüntü tek olmalı: A'daki bir eleman B'den EN FAZLA (tam olarak) bir eleman ile eşleşmeli. Bir elemanın iki farklı görüntüsü olamaz.

Kısaca: A'nın her elemanı çıkışlıdır ve tek oktan çıkar. B tarafında ise bir eleman hiç seçilmeyebilir veya birden çok kez seçilebilir; bu fonksiyonluğu bozmaz.

• Tanım kümesi (A): Fonksiyona giren tüm elemanlar (girişler).
• Değer kümesi (B): Çıkışların seçilebileceği küme (varış/eş kümesi).
• Görüntü kümesi: B içinde gerçekten kullanılan (bir A elemanına karşılık gelen) elemanların kümesidir. Görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir: Görüntü ⊆ B.

Örneğin f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d}, f(1)=a, f(2)=a, f(3)=c ise değer kümesi {a, b, c, d}, görüntü kümesi {a, c}'dir.

Aşağıdaki tablo, s(A) = m ve s(B) = n iken tanımlı fonksiyon sayılarını verir.

Tür	Koşul	Sayı
Fonksiyon	A → B	n^m
Bire bir (1-1) fonksiyon	A → B, m ≤ n	n × (n−1) × ... × (n−m+1)
Örten (birebir örten sayısı, m = n)	A → B	n!
A × B'nin bağıntı sayısı	—	2^(m×n)

Bire bir (1-1): Farklı girişlerin görüntüleri de farklıdır (a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b)).

Örten: B'nin her elemanı en az bir A elemanının görüntüsüdür (görüntü kümesi = B).

Doğrusal fonksiyon: f(x) = ax + b (a ≠ 0) biçimindedir; grafiği bir doğrudur. a eğim, b ise y eksenini kestiği (sabit) değerdir. Sabit fonksiyon f(x) = b (a = 0) her girişe aynı değeri verir. Birim (özdeşlik) fonksiyon I(x) = x'tir.

İki fonksiyon art arda uygulanır. (fog)(x) = f(g(x)): önce g uygulanır (içteki), sonra sonucuna f uygulanır (dıştaki).

Önemli: Bileşke işlemi genelde değişmeli değildir: fog ≠ gof. Ancak birleşme özelliği vardır: fo(goh) = (fog)oh.

Birim fonksiyon etkisizdir: foI = Iof = f. Ayrıca f o f⁻¹ = f⁻¹ o f = I(x) = x.

Örnek: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² olsun.

• (fog)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2·x² + 1 = 2x² + 1.
• (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)² = 4x² + 4x + 1.

İki sonuç farklı; fog ≠ gof olduğu net görülür.

Bir f fonksiyonunun tersi f⁻¹, girdi ile çıktıyı yer değiştirir: f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a. Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olması için f'nin bire bir ve örten olması gerekir.

Ters bulma adımları (f(x) = ax + b için):

1. y = ax + b yaz.
2. x'i yalnız bırak: x = (y − b) / a.
3. x ↔ y değiştir: f⁻¹(x) = (x − b) / a.

Örnek: f(x) = 3x − 6 ⇒ f⁻¹(x) = (x + 6) / 3 = x/3 + 2.

Kritik kural: (fog)⁻¹ = g⁻¹ o f⁻¹ (sıra ters döner). Ayrıca f(a) = b bilgisi doğrudan f⁻¹(b) = a demektir; ters fonksiyonun kuralını bulmadan tek bir değeri okuyabilirsin.

• fog ile gof karıştırmak: (fog)(x)'te önce g uygulanır; f(g(x)) yazılır, g(f(x)) değil.
• Terste yönü unutmak: f(x) = ax + b iken tersi (x − b)/a'dır; birçok öğrenci yanlışlıkla (x + b)/a veya ax − b yazar.
• Görüntü kümesi ile değer kümesini eşitlemek: Görüntü, değer kümesinin alt kümesidir; her zaman eşit olmak zorunda değildir (fonksiyon örten değilse eşit olmaz).
• Fonksiyon koşulunu yarım uygulamak: "Tek görüntü" koşulunu sağlayıp "her elemanın görüntüsü olmalı" koşulunu unutmak. İki koşul da şart.
• (fog)⁻¹ = f⁻¹og⁻¹ sanmak: Doğrusu (fog)⁻¹ = g⁻¹of⁻¹; sıra terslenir.

Değer bulma sorularında içeriden dışarıya ilerle: (fog)(2) istendiyse önce g(2)'yi hesapla, çıkan sayıyı f'e ver. Ters fonksiyondan tek bir değer isteniyorsa (örneğin f⁻¹(5)), ters kuralı bulmak yerine "f(x) = 5 olan x kaçtır?" denklemini çözmek çoğu zaman daha hızlıdır. Doğrusal fonksiyonlarda iki nokta verilmişse eğim a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) ile kuralı hızlıca kurabilirsin.