Matematik

Hareket Problemleri — Hız-Zaman-Yol, Göreli Hareket ve Birlikte İş

Sabit hızlı hareketin yol = hız × zaman bağıntısı üzerinden aynı/zıt yönlü hareket, tur atma, işçi-havuz ve musluk problemlerinin sistematik çözümü.

12 dk okuma · 7 bölüm

Temel Bağıntı: Yol = Hız × Zaman

Sabit (düzgün) hızlı harekette üç büyüklük vardır ve tek bir bağıntıyla birbirine bağlıdır:

Yol = Hız × Zaman → bundan Hız = Yol ÷ Zaman ve Zaman = Yol ÷ Hız türetilir.

Kısaltmalar: yol için x (veya s), hız için V, zaman için t kullanılır: x = V × t.

Birim uyumu şarttır. Hız km/sa ise zaman saat, yol km olmalı; hız m/sn ise zaman saniye, yol metre olmalı.

km/sa → m/sn dönüşümü: km/sa değerini ÷ 3,6 ile böl. (Örn. 72 km/sa = 72 ÷ 3,6 = 20 m/sn.)
m/sn → km/sa dönüşümü: × 3,6 ile çarp.

Uyarı: "Ortalama hız", hızların aritmetik ortalaması değildir. Ortalama hız = Toplam Yol ÷ Toplam Zaman formülüyle bulunur. Gidiş-dönüşte eşit yol için ortalama hız, hızların harmonik ortalamasıdır: 2·V₁·V₂ / (V₁ + V₂).

Aynı/Zıt Yönlü Hareket ve Göreli Hız

İki cismin birbirine göre hızı (göreli/bağıl hız) yön ilişkisine bağlıdır:

Durum	Göreli (yaklaşma/uzaklaşma) hız
Zıt yönde, birbirine doğru	V₁ + V₂ (yaklaşırlar)
Zıt yönde, birbirinden uzaklaşan	V₁ + V₂ (uzaklaşırlar)
Aynı yönde (biri diğerini kovalar)	V₁ − V₂ (hızlı olan yaklaşır)

Aralarındaki mesafenin kapanması / açılması bu göreli hızla olur:

İki araç aralarında x km ile karşıdan birbirine geliyorsa, karşılaşma zamanı = x ÷ (V₁ + V₂).
Öndeki aracı arkadaki (daha hızlı) araç yakalıyorsa, yakalama zamanı = aradaki mesafe ÷ (V₁ − V₂).

Tur (Pist) Problemleri

Dairesel/kapalı bir pistte iki hareketli aynı noktadan başlar:

Zıt yönde hareket ediyorlarsa, her karşılaşmada birlikte 1 tur (pist uzunluğu kadar yol) alırlar. İlk karşılaşma zamanı = Pist ÷ (V₁ + V₂).
Aynı yönde hareket ediyorlarsa, hızlı olan yavaşın 1 tur önüne geçince yeniden yan yana gelirler. Karşılaşma zamanı = Pist ÷ (V₁ − V₂).

İki hareketlinin başlangıç noktasında aynı anda buluşması için geçen süre, tek tur sürelerinin EKOK'udur (en küçük ortak kat).

Tren–Tünel/Köprü Geçişi

Bir tren bir cismi (direk, insan) geçerken kendi boyu kadar yol alır. Tüneli/köprüyü tamamen geçerken (ön uç girip son uç çıkana kadar) aldığı yol:

Alınan yol = Tünel/Köprü uzunluğu + Tren uzunluğu

Direk gibi noktasal bir cismi geçerken tünel uzunluğu 0 alınır, yani alınan yol = tren boyu. Hız km/sa verilmişse önce m/sn'ye çevrilir.

İşçi–Havuz (Birlikte İş) ve Musluk Problemleri

Bir işi (havuzu) tamamlamak "1 tam iş" kabul edilir. Bir işçi işi a günde bitiriyorsa, birim zamandaki iş gücü 1/a'dır (kesir mantığı).

İki işçi birlikte çalışırsa: birim iş = 1/a + 1/b. Birlikte bitirme süresi = 1 ÷ (1/a + 1/b) = a·b / (a + b).
Musluklarda dolduran musluk +, boşaltan (giden) musluk − ile alınır: net hız = 1/a − 1/c (a dolduran, c boşaltan süresi).

Uyarı: "a·b/(a+b)" formülü yalnızca iki hareketli/işçi için ve "birlikte bitirme süresi" için geçerlidir; üç veya daha fazla işçide doğrudan birim iş toplamı (1/a + 1/b + 1/c) alınıp tersi hesaplanmalıdır.

Çözümlü Örnek

Örnek: Aralarında 300 km olan iki şehirden A aracı 60 km/sa, B aracı 40 km/sa hızla aynı anda karşıdan birbirine doğru hareket ediyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

Çözüm: Zıt yönde birbirine geldikleri için yaklaşma hızı = 60 + 40 = 100 km/sa. Karşılaşma zamanı = 300 ÷ 100 = 3 saat.

Örnek: Bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 12 saatte dolduruyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Birim iş = 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4. Süre = 1 ÷ (1/4) = 4 saat. (Kısayol: 6·12/(6+12) = 72/18 = 4.)

Sık Yapılan Hatalar

Yön karıştırma: Kovalamada hızları toplamak (doğrusu çıkarmaktır) ya da karşıdan gelmede çıkarmak.
Birim hatası: m/sn ile km/sa'i dönüştürmeden aynı işleme sokmak; dakika ile saati karıştırmak.
Ortalama hız yanılgısı: V₁ ve V₂'nin aritmetik ortalamasını almak. Eşit yol için harmonik ortalama gerekir.
İş gücü toplamı: Sürelerin kendisini toplamak (yanlış); toplanması gereken birim işlerdir (1/a + 1/b).
Musluk işareti: Boşaltan musluğu artı almak; net hızda mutlaka çıkarılmalıdır.
Tren geçişi: Tüneli tamamen geçmede alınan yola tren boyunu eklememek.

Bu konudan 10 soru

Okuduğunu hemen sına — her sorunun çözümü altında.

10 sorudan 0 tanesi cevaplandıSkor: 0/10

1.
Bir araç, A kentinden B kentine giderken yolun ilk 120 km'lik bölümünü 80 km/sa, kalan 60 km'lik bölümünü ise 40 km/sa sabit hızla gitmiştir. Buna göre aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?
YanlışDoğru cevap: D — 60
İlk bölümün süresi 120/80 = 1,5 saat; ikinci bölümün süresi 60/40 = 1,5 saattir. Toplam yol 120 + 60 = 180 km, toplam süre 1,5 + 1,5 = 3 saattir. Ortalama hız = toplam yol / toplam süre = 180/3 = 60 km/sa'tir.
Ortalama hız, iki hızın aritmetik ortalaması sanılır; doğru yöntem toplam yolun toplam süreye bölünmesidir.
2.
Aralarında 300 km bulunan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru yola çıkan iki araçtan biri saatte 70 km, diğeri saatte 80 km hızla gitmektedir. Bu iki araç kaç saat sonra karşılaşır?
YanlışDoğru cevap: B — 2
Araçlar birbirine doğru gittiğinden yaklaşma hızları toplanır: 70 + 80 = 150 km/saat. Aralarındaki 300 km bu bileşke hızla kapanır: zaman = yol ÷ hız = 300 ÷ 150 = 2 saat. İki araç 2 saat sonra karşılaşır.
Öğrenci hızları toplamak yerine tek aracın hızıyla (300÷80 gibi) hesaplar ya da birbirine yaklaşmada hızların toplandığını unutur.
3.
Bir araç A şehrinden B şehrine saatte 60 km hızla gidiyor; aynı yoldan geri dönerken saatte 90 km hız yapıyor. Aracın gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?
YanlışDoğru cevap: C — 72
Ortalama hız, hızların aritmetik ortalaması değil; toplam yolun toplam zamana bölümüdür. Yol tek yönde d olsun. Gidiş süresi d/60, dönüş süresi d/90. Toplam yol 2d, toplam süre d/60 + d/90 = (3d + 2d)/180 = 5d/180 = d/36. Ortalama hız = 2d ÷ (d/36) = 2d · 36/d = 72 km/sa. (Bu, iki hızın harmonik ortalamasıdır.)
Gidiş-dönüş ortalama hızını (60+90)/2 = 75 olarak almak; oysa eşit mesafelerde harmonik ortalama kullanılır.
4.
Bir hırsız, polisin bulunduğu noktadan 300 m önde ve aynı yönde kaçmaya başlıyor. Hırsızın hızı 6 m/sn, polisin hızı 9 m/sn'dir. Polis hırsızı kaç saniye sonra yakalar?
YanlışDoğru cevap: E — 100 sn
Aynı yönde kovalama olduğu için yaklaşma hızı çıkarılır: 9 − 6 = 3 m/sn. Kapatılacak mesafe 300 m'dir. Yakalama zamanı = 300 ÷ 3 = 100 sn.
Öğrenci aynı yönlü kovalamada hızları toplayarak (9 + 6 = 15; 300 ÷ 15 = 20) veya sadece polisin hızını kullanarak (300 ÷ 9 ≈ 33) aradaki hız farkını göz ardı eder.
5.
Bir havuzu dolduran musluk tek başına 3 saatte havuzu doldurmakta, havuzun dibindeki boşaltan musluk ise dolu havuzu tek başına 6 saatte boşaltmaktadır. Havuz boşken her iki musluk da aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?
YanlışDoğru cevap: D — 6 saat
Dolduran musluk +, boşaltan musluk − alınır. Net hız = 1/3 − 1/6 = 2/6 − 1/6 = 1/6 (havuzun 1/6'sı bir saatte dolar). Süre = 1 ÷ (1/6) = 6 saat.
Öğrenci boşaltan musluğu da artı alarak (1/3 + 1/6 = 1/2; süre 2 saat) işareti karıştırır ya da net hızın çıkarma gerektirdiğini gözden kaçırır.
6.
Bir işi A işçisi tek başına 12 günde, B işçisi 18 günde bitirmektedir. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra A işi bırakıyor ve kalanı B tek başına tamamlıyor. Birlikte çalışılan 4 gün hariç, B kalan işi kaç günde bitirir?
YanlışDoğru cevap: C — 8 gün
Birim işler: A = 1/12, B = 1/18. Birlikte bir günde: 1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36. 4 günde yapılan iş = 4 × 5/36 = 20/36 = 5/9. Kalan iş = 1 − 5/9 = 4/9. B'nin tek başına bir günlük işi 1/18 olduğuna göre kalan süre = (4/9) ÷ (1/18) = (4/9) × 18 = 72/9 = 8 gün.
Öğrenci kalan işi yanlış hesaplayarak ya da B'nin günlük gücünü 1/12 ile karıştırarak süreyi yanlış bulur.
7.
Bir havuzu A musluğu tek başına 12 saatte, B musluğu tek başına 18 saatte dolduruyor. Havuzun dibindeki bir tahliye deliği ise dolu havuzu tek başına 9 saatte boşaltıyor. Boş havuzda üç musluk (A, B ve tahliye deliği) aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?
YanlışDoğru cevap: E — 36
Saatlik hızlar (havuzun kesri olarak): A = 1/12, B = 1/18, tahliye = -1/9 (boşalttığı için negatif). Ortak payda 36 alınırsa: 1/12 = 3/36, 1/18 = 2/36, 1/9 = 4/36. Net doldurma hızı = 3/36 + 2/36 - 4/36 = 1/36 havuz/saat. Havuzun tamamı (1 birim) 1 ÷ (1/36) = 36 saatte dolar. Doğru cevap E'dir.
Öğrenci tahliye deliğinin hızını negatif almayı unutup üç hızı toplarsa (3/36+2/36+4/36=9/36) yaklaşık 4 saat gibi yanlış bir değer bulur; tahliye çıkarılan bir hızdır.
8.
Bir araç A noktasından B'ye giderken hızını %25 artırırsa aynı yolu her zamankinden 12 dakika erken kat etmektedir. Bu aracın normal hızıyla A'dan B'ye gidiş süresi kaç dakikadır?
YanlışDoğru cevap: D — 60
Yol sabitken hız ile zaman ters orantılıdır. Hız %25 artarsa yeni hız 5/4 katı olur; süre 4/5 katına iner. Normal süre t ise yeni süre (4/5)t olur. Fark = t − (4/5)t = (1/5)t = 12 dakika. Buradan t = 12 × 5 = 60 dakika.
Öğrenci hız ile zamanın ters orantılı olduğunu göz ardı edip süreyi de %25 azaltarak (t − 0,25t) veya farkı doğrudan hıza uygulayarak yanlış denklem kurar.
9.
Bir havuzu A musluğu tek başına 4 saatte, B musluğu tek başına 6 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
YanlışDoğru cevap: B — 2 saat 24 dakika
Birim iş toplanır: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 (havuzun 5/12'si bir saatte dolar). Süre = 1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2,4 saat. 0,4 saat = 0,4 × 60 = 24 dakika. Yani 2 saat 24 dakika. (Kısayol: 4·6/(4+6) = 24/10 = 2,4 sa.)
Öğrenci süreleri doğrudan toplayarak (4 + 6 = 10) veya aritmetik ortalama alarak (4+6)/2 = 5 saat bulur; iş gücü kesirlerinin toplanması gerektiğini bilmez.
10.
Bir kişi bir yolu 60 km/sa hızla gidip aynı yoldan 40 km/sa hızla dönmüştür. Bu kişinin gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı kaç km/sa'dir?
YanlışDoğru cevap: A — 48
Ortalama hız aritmetik ortalama değildir; ortalama hız = toplam yol ÷ toplam zaman. Tek yön mesafesine 120 km diyelim: gidiş süresi 120/60 = 2 sa, dönüş süresi 120/40 = 3 sa. Toplam yol = 240 km, toplam zaman = 5 sa. Ortalama hız = 240 ÷ 5 = 48 km/sa. (Harmonik ortalama: 2·60·40/(60+40) = 4800/100 = 48.)
Öğrenci ortalama hızı iki hızın aritmetik ortalaması sanarak (60 + 40)/2 = 50 km/sa bulur; eşit yol için harmonik ortalama gerektiğini bilmez.

Temel Bağıntı: Yol = Hız × Zaman

Aynı/Zıt Yönlü Hareket ve Göreli Hız

Tur (Pist) Problemleri

Tren–Tünel/Köprü Geçişi

İşçi–Havuz (Birlikte İş) ve Musluk Problemleri

Çözümlü Örnek

Sık Yapılan Hatalar

Bu konudan 10 soru

Bir araç, A kentinden B kentine giderken yolun ilk 120 km'lik bölümünü 80 km/sa, kalan 60 km'lik bölümünü ise 40 km/sa sabit hızla gitmiştir. Buna göre aracın tüm yol boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?

Aralarında 300 km bulunan iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru yola çıkan iki araçtan biri saatte 70 km, diğeri saatte 80 km hızla gitmektedir. Bu iki araç kaç saat sonra karşılaşır?

Bir araç A şehrinden B şehrine saatte 60 km hızla gidiyor; aynı yoldan geri dönerken saatte 90 km hız yapıyor. Aracın gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?

Bir hırsız, polisin bulunduğu noktadan 300 m önde ve aynı yönde kaçmaya başlıyor. Hırsızın hızı 6 m/sn, polisin hızı 9 m/sn'dir. Polis hırsızı kaç saniye sonra yakalar?

Bir havuzu dolduran musluk tek başına 3 saatte havuzu doldurmakta, havuzun dibindeki boşaltan musluk ise dolu havuzu tek başına 6 saatte boşaltmaktadır. Havuz boşken her iki musluk da aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Bir işi A işçisi tek başına 12 günde, B işçisi 18 günde bitirmektedir. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra A işi bırakıyor ve kalanı B tek başına tamamlıyor. Birlikte çalışılan 4 gün hariç, B kalan işi kaç günde bitirir?

Bir havuzu A musluğu tek başına 12 saatte, B musluğu tek başına 18 saatte dolduruyor. Havuzun dibindeki bir tahliye deliği ise dolu havuzu tek başına 9 saatte boşaltıyor. Boş havuzda üç musluk (A, B ve tahliye deliği) aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Bir araç A noktasından B'ye giderken hızını %25 artırırsa aynı yolu her zamankinden 12 dakika erken kat etmektedir. Bu aracın normal hızıyla A'dan B'ye gidiş süresi kaç dakikadır?

Bir havuzu A musluğu tek başına 4 saatte, B musluğu tek başına 6 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

Bir kişi bir yolu 60 km/sa hızla gidip aynı yoldan 40 km/sa hızla dönmüştür. Bu kişinin gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı kaç km/sa'dir?

Matematik — diğer konu anlatımları