Matematik
İşlem — Özel Tanımlı İşlemler ve İşlem Özellikleri
Yıldız (*), üçgen (Δ), daire (⊕) gibi sembollerle verilen özel tanımlı işlemleri kurala göre uygulamayı; iç içe işlemleri, değişme-birleşme-etkisiz eleman-ters eleman özelliklerini KPSS mantığıyla kavra.
11 dk okuma · 6 bölüm
Özel Tanımlı İşlem Nedir?
Özel tanımlı işlem, bilinen dört işlemin dışında, bir sembol (*, Δ, ⊕, ∇, ♣ vb.) ile kuralı verilerek tanımlanan işlemdir. Örneğin:
a * b = 2a + 3b − 1
Burada * yeni bir işlemdir. Karşımıza çıkan tek görev, verilen kuralda a ve b'nin yerine soruda istenen sayıları yazıp sadeleştirmektir. Kuralın kendisi mantıklı olmak zorunda değildir; soru ne diyorsa o uygulanır.
En temel kural: Kuralda soldaki değişkenin (a) yerine işlemin solundaki sayı, sağdaki değişkenin (b) yerine sağdaki sayı yazılır. Sıra çok önemlidir; çünkü işlem değişme özelliğine sahip olmayabilir.
Örnek: a * b = 2a + 3b − 1 için 4 * 1 = 2·4 + 3·1 − 1 = 8 + 3 − 1 = 10. Ama 1 * 4 = 2·1 + 3·4 − 1 = 2 + 12 − 1 = 13. Görüldüğü gibi 4 * 1 ≠ 1 * 4.
İç İçe Tanımlı İşlemler
Bir işlemin sonucu, başka bir işleme girdi olarak verilebilir: (a * b) * c gibi. Kural nettir:
- Her zaman en içteki / en soldaki parantezden başla.
- Önce parantez içini tek bir sayıya indirge, sonra dıştaki işlemi uygula.
Örnek: a * b = a + 2b ise (3 * 1) * 2 şöyle çözülür:
- Önce
3 * 1 = 3 + 2·1 = 5 - Sonra
5 * 2 = 5 + 2·2 = 9
Sırayı bozup 1 * 2'yi önce yaparsan yanlış sonuç bulursun. Parantez, hangi işlemin önce yapılacağını söyler. Parantez yoksa ve aksi belirtilmediyse işlem soldan sağa gruplanır: a * b * c = (a * b) * c.
İşlem Özellikleri (Tablo)
Bir * işleminin özellikleri, bir denklem kurularak sınanır:
| Özellik | Tanım | Nasıl sınanır |
|---|---|---|
| Değişme (komütatiflik) | a * b = b * a her a, b için | Genel a, b ile iki tarafı yaz; eşitse vardır |
| Birleşme (asosyatiflik) | (a * b) * c = a * (b * c) | İki tarafı ayrı hesapla; eşitse vardır |
| Etkisiz (birim) eleman e | a * e = e * a = a her a için | a * e = a denklemini kurup e'yi çöz |
| Ters eleman a⁻¹ | a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e | Önce e'yi bul, sonra a * x = e denklemini çöz |
Önemli: Ters eleman aranmadan önce mutlaka etkisiz eleman (e) bulunmalıdır. Etkisiz eleman yoksa, ters eleman da tanımlanamaz.
Etkisiz ve Ters Elemanın Bulunması (Çözümlü)
Örnek: a * b = a + b − 3 işleminin etkisiz elemanını ve 5'in tersini bulalım.
Etkisiz eleman (e): a * e = a olmalı → a + e − 3 = a → e − 3 = 0 → e = 3.
(Kontrol: a * 3 = a + 3 − 3 = a ✓, ayrıca 3 * a = 3 + a − 3 = a ✓, değişme var.)
5'in tersi (x): 5 * x = e = 3 olmalı → 5 + x − 3 = 3 → x + 2 = 3 → x = 1.
(Kontrol: 5 * 1 = 5 + 1 − 3 = 3 = e ✓)
İkinci örnek — çarpım içeren tanım: a * b = a·b − a − b + 2 için etkisiz eleman:
a * e = a → a·e − a − e + 2 = a → a·e − e = 2a − 2 → e(a − 1) = 2(a − 1) → e = 2 (a ≠ 1 için her a'da geçerli).
Sık Yapılan Hatalar
- Sırayı karıştırmak:
a * b'de a solu, b sağı temsil eder.3 * 5ile5 * 3işlem değişmeli değilse farklıdır. - Kural yerine bilinen işlemi kullanmak:
*işaretini görünce otomatik çarpma yapmak. Her zaman verilen tanıma dön. - İç içe işlemde yanlış parantezden başlamak: En içteki/soldaki parantez önce çözülmeli.
- Etkisiz elemanı sabit sanmak: e her zaman 0 veya 1 değildir; denklem kurularak bulunur.
- Ters elemanı etkisizsiz aramak: Önce e bulunmadan ters eleman bulunamaz;
a * a⁻¹ = edenklemine e'nin değeri konmalıdır. - İşaret hatası:
a + b − 3gibi tanımlarda eksi terimi taşırken işaret düşürmek.
KPSS İpucu
Özel tanımlı işlem soruları "hesap" değil "kurala sadakat" sorularıdır. Panik yapma: tanımı bir kez daha oku, değişkenlerin yerine sayıları doğru sırayla koy, adım adım sadeleştir. İç içe işlemde en içten dışa yürü. Özellik sorularında (değişme/birleşme) genel a, b, c harfleriyle çalış; sayısal deneme bazen yanıltır çünkü tek bir örnek özelliğin varlığını kanıtlamaz, ama tek bir karşı örnek yokluğunu kanıtlar.