Matematik
Sayı Problemleri — Sözel İfadeyi Denkleme Çevirme ve Basamak Analizi
Cümle içindeki sayı ilişkilerini doğru değişken seçimiyle denkleme dönüştürüp ardışık sayı, basamak, kat-fazla ve çift-tek koşullu kurguları sistematik çözme.
12 dk okuma · 7 bölüm
Sözel İfadeyi Denkleme Çevirmenin Mantığı
Sayı problemlerinin tamamı doğru değişken seçimi ile başlar. Genel kural: en küçük ya da diğerlerinin kendisine bağlandığı sayıya x de; böylece kalan sayıları x cinsinden yazmak kolaylaşır.
Sözel kalıpların denkleme karşılığı:
| Sözel ifade | Denklem karşılığı |
|---|---|
| Bir sayının 3 katı | 3x |
| Bir sayının 3 katının 5 fazlası | 3x + 5 |
| Bir sayının 3 katından 5 eksik | 3x − 5 |
| Bir sayının yarısının 2 katı | 2·(x/2) = x |
| İki sayının toplamı 40 | x + y = 40 |
| A, B'den 7 fazla | A = B + 7 |
| A'nın 4 katı, B'nin 2 katına eşit | 4A = 2B |
Kritik ayrım: "katı" çarpma (3x), "kadar fazlası" toplamadır ("kendisi kadar fazlası" = x + x = 2x gibi). "3 katının 5 fazlası" (3x + 5) ile "3 katının 5 katı" (15x) tamamen farklıdır. Parantezi doğru kur.
Ardışık Sayılar
Ardışık sayılarda bir bilinmeyen seçilir, diğerleri ona göre yazılır:
| Tür | Gösterim | Toplam formülü |
|---|---|---|
| Ardışık tam sayı (n tane) | x, x+1, x+2, … | Ortadaki × n (n tekse) |
| Ardışık çift sayı | x, x+2, x+4, … | — |
| Ardışık tek sayı | x, x+2, x+4, … | — |
Önemli özellikler:
- Tek sayıda ardışık terimin toplamı = ortanca terim × terim sayısı. Örneğin 3 ardışık sayının toplamı 3·(ortanca) olur; toplam 3'e tam bölünür.
- Ardışık çift ve ardışık tek sayılar da x, x+2, x+4 diye ikişer artar; ikisini ayıran şey sadece x'in çift mi tek mi olduğudur.
- Çift sayıda ardışık terimde (örneğin 4 terim: x, x+1, x+2, x+3) toplam = 4x + 6'dır; bu sabit +6 nedeniyle toplam 4'e tam bölünmez (kalan 2), yalnızca 2'ye bölünür.
- Çözümlü örnek: Ardışık üç tam sayının toplamı 72 ise ortancası kaçtır? Ortanca = 72/3 = 24. Sayılar 23, 24, 25.
Rakamlar ve Basamak Problemleri
İki basamaklı bir sayının onlar basamağı a, birler basamağı b ise sayının değeri 10a + b'dir (a·10 + b·1). Bu, basamak problemlerinin can damarıdır.
| Kavram | Gösterim |
|---|---|
| İki basamaklı sayı | 10a + b |
| Rakamları yer değiştirmiş hâli | 10b + a |
| Üç basamaklı sayı | 100a + 10b + c |
| Rakamlar toplamı | a + b |
Çok kullanılan sonuç: İki basamaklı bir sayı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin farkı = 9·(a − b); toplamı = 11·(a + b). Bu iki bağıntı KPSS'de doğrudan kısayol sağlar.
- Çözümlü örnek: İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 12'dir. Sayı, rakamları yer değiştirince 18 artıyorsa sayı kaçtır? Fark = 10b + a − (10a + b) = 9(b − a) = 18 → b − a = 2. a + b = 12 ile birlikte: b = 7, a = 5. Sayı = 57. (Kontrol: 75 − 57 = 18 ✓)
Kat, Fazla ve Yön İlişkileri
"Fazla/eksik" ifadelerinde yön en kritik noktadır. "A, B'nin 3 katından 4 fazladır" cümlesini adım adım kur: A = 3B + 4. Buradaki tuzak, 4'ü B tarafına ("A = 3(B+4)") ya da işareti ters yazmaktır.
Yaş problemleri de bu sınıftandır: t yıl sonra herkesin yaşına +t, t yıl önce herkesin yaşından −t eklenir/çıkarılır. "Bugün" ve "gelecek/geçmiş" ifadelerini ayrı denklem olarak yazmak hatayı azaltır.
- Çözümlü örnek: Bir baba bugün oğlunun yaşının 4 katındadır. 5 yıl sonra 3 katı olacaktır. Oğlun bugünkü yaşı kaçtır? Bugün: B = 4O. 5 yıl sonra: B + 5 = 3(O + 5) → 4O + 5 = 3O + 15 → O = 10.
Çift-Tek Koşulu ve Bölünebilirlik
Denklem tek çözüm vermeyip birden çok tam sayı ürettiğinde, çift/tek ya da pozitif tam sayı koşulu doğru cevabı süzer.
- çift ± çift = çift, tek ± tek = çift, çift ± tek = tek.
- çift × herhangi = çift; tek × tek = tek. Yani bir çarpımın tek olması için tüm çarpanlar tek olmalıdır.
- Ardışık iki tam sayının toplamı daima tektir (çünkü biri çift biri tektir).
- Çözümlü örnek: x + y = 15 ve x, y birer pozitif tam sayı; x çift, y tek olsun. x'in alabileceği en büyük değer kaçtır? 15 tek olduğundan çift+tek = tek uyumludur. y ≥ 1 (tek) → x ≤ 14; x çift olmalı → x = 14, y = 1 uygundur.
Sık Yapılan Hatalar
- Yön hatası: "A, B'den 6 fazla" için A = B + 6 yerine B = A + 6 yazmak.
- Kat–fazla karışması: "3 katının 5 fazlası" (3x + 5) yerine 3(x + 5) veya 3x·5 yazmak.
- Basamak değeri atlama: İki basamaklı sayıyı "a + b" sanmak; doğrusu 10a + b.
- Koşulu unutmak: Denklem iki kök verince çift-tek/pozitiflik koşulunu uygulamayıp yanlış kökü seçmek.
- Ardışıkta yanlış gösterim: Ardışık tek sayıları x, x+1, x+3 gibi yazmak; doğrusu x, x+2, x+4.
KPSS İpucu
Soruda "en az/en çok kaç" veya "kaç farklı değer" geçiyorsa çift-tek ve bölünebilirlik koşulunu mutlaka kontrol et; tek denklemle bulunamayan sınır değeri bu koşullar belirler. "Rakamları yer değiştirme" gördüğünde fark = 9(a − b) ve toplam = 11(a + b) kısayollarını hatırla; denklem kurmadan saniyeler kazandırır.