Matematik
Rasyonel Sayılar — Kesirlerde Dört İşlem, Sıralama ve Ondalık Dönüşüm
a/b (b≠0) biçimindeki sayılarda dört işlem, büyüklük kıyaslama, bileşik/tam sayılı ve sürekli kesir çözümü ile devirli ondalık dönüşümünün sistematik uygulaması.
12 dk okuma · 5 bölüm
Rasyonel Sayı Kavramı ve Türleri
Bir sayı a/b biçiminde (a, b tam sayı ve b ≠ 0) yazılabiliyorsa rasyonel sayıdır. Tüm tam sayılar (örneğin 5 = 5/1), sonlu ondalıklar (0,25 = 1/4) ve devirli ondalıklar rasyoneldir. π ve √2 rasyonel değildir (irrasyoneldir).
Kesir türleri:
| Tür | Tanım | Örnek |
|---|---|---|
| Basit kesir | |pay| < |payda| | 3/5, 2/7 |
| Bileşik kesir | |pay| ≥ |payda| | 7/4, 9/9 |
| Tam sayılı kesir | Tam kısım + basit kesir | 2 1/3 = 7/3 |
Tam sayılı → bileşik dönüşüm: 2 1/3 = (2×3 + 1)/3 = 7/3. Tersi: 7/3 → 7÷3 = 2 kalan 1 → 2 1/3.
İşaret uyarısı: −2 1/3 ifadesi −(2 + 1/3) = −7/3 demektir. Tam kısım eksi ise kesir kısmı da eksidir; yalnız tam kısmı eksileyip 1/3'ü artı bırakmak yaygın hatadır.
Kesirlerde Dört İşlem
Toplama/Çıkarma: Paydalar eşitlenir (ortak payda = paydaların EKOK'u), paylar toplanır/çıkarılır. Örnek: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Çarpma: Pay × pay, payda × payda. Önce sadeleştirmek işlemi kısaltır. Örnek: (4/9) × (3/8) = (4×3)/(9×8) = 12/72 = 1/6. (Çapraz sadeleştirme: 4 ile 8 → 1/2, 3 ile 9 → 1/3, sonuç 1/6.)
Bölme: İkinci kesir ters çevrilir ve çarpılır (ters = çarpmaya göre tersi). Örnek: (3/5) ÷ (9/10) = (3/5) × (10/9) = 30/45 = 2/3.
| İşlem | Kural |
|---|---|
| a/b + c/d | (a·d + c·b)/(b·d), sonra sadeleştir |
| a/b × c/d | (a·c)/(b·d) |
| a/b ÷ c/d | (a/b) × (d/c) |
Uyarı: Bölmede yalnızca bölen (ikinci kesir) ters çevrilir. Her ikisini de çevirmek ya da böleni çevirmeden çarpmak en sık görülen iki hatadır. Bölme ile çarpma aynı önceliktedir ve soldan sağa yapılır.
Kesirleri Sıralama (Büyüklük Kıyası)
Üç güvenilir yöntem:
- Ortak payda: Payları kıyasla. 2/3 ve 3/5 → 10/15 ve 9/15 → 2/3 > 3/5.
- Çapraz çarpım: a/b ? c/d için a·d ile b·c kıyaslanır (paydalar pozitifken). 2/3 ? 3/5 → 2×5 = 10 > 3×3 = 9 → 2/3 büyük.
- 1'e uzaklık: Payı paydadan 1 eksik olan kesirlerde (6/7, 7/8, 8/9) payda büyüdükçe kesir 1'e yaklaşır, yani büyür: 6/7 < 7/8 < 8/9.
İpucu: Negatif kesirlerde yön ters döner: −1/2 > −3/4'tür çünkü sayı doğrusunda −1/2 sağdadır. Çapraz çarpım kullanırken paydaların işaretine dikkat et; negatifle çarpınca eşitsizlik yön değiştirir.
Sık hata: Paydası büyük olan kesir küçüktür sanmak — bu yalnızca paylar eşitse doğrudur. 3/4 > 3/8 çünkü paylar eşit; ama 5/6 ? 4/5 gibi durumda kıyas gerekir (5/6 = 25/30, 4/5 = 24/30 → 5/6 büyük).
Sürekli (İç İçe) Kesir Çözümü
Kesir içinde kesir en içteki işlemden başlanarak dışa doğru çözülür.
Örnek: 1 + 1/(1 + 1/2)
- En iç: 1 + 1/2 = 3/2
- 1/(3/2) = 2/3
- 1 + 2/3 = 5/3
Karmaşık kesir kısayolu: (a/b)/(c/d) tek bir bölme işlemidir → (a/b)×(d/c). Büyük kesir çizgisi en son yapılan bölmeyi gösterir; önce üst ve alt bloklar ayrı ayrı tek kesre indirgenir.
Uyarı: Büyük kesir çizgisi işlem önceliğinde parantez görevi görür. Üstteki ve alttaki ifadeleri ayrı sadeleştirmeden bölmeye geçmek hatalıdır. Ayrıca ara adımdaki değer (ör. 5/3) ile nihai sonuç (ör. 3/5) karıştırılmamalıdır.
Devirli Ondalığa ve Kesre Çevirme
Kesir → ondalık: Pay paydaya bölünür. Payda yalnızca 2 ve 5 çarpanlarından oluşuyorsa sonlu ondalık; başka asal çarpan varsa devirli olur. Örn: 1/3 = 0,333... = 0,3̄; 1/7 = 0,142857142857...
Devirli ondalık → kesir kalıpları:
| Ondalık | Kesir kuralı | Örnek |
|---|---|---|
| 0,ā (tek basamak devir) | a/9 | 0,7̄ = 7/9 |
| 0,ab̄ (iki basamak devir) | ab/99 | 0,45̄ = 45/99 = 5/11 |
| 0,ab̄ (a sabit, b devir) | (ab − a)/90 | 0,16̄ = (16−1)/90 = 15/90 = 1/6 |
Genel formül: 0,(sabit)(devir) = (tüm sayı − sabit kısım) / (devir basamağı kadar 9, sabit basamağı kadar 0). Örnek: 0,2333... = 0,23̄ → (23 − 2)/90 = 21/90 = 7/30.
İpucu: Payda 9'lardan oluşur (her devir basamağı için bir 9), ardından sabit basamak sayısı kadar 0 gelir. "Kaç 9, kaç 0" sorusu KPSS'nin klasik tuzağıdır; devir başlamadan önceki basamak sayısına dikkat et.
Sık hata: 0,15̄ (yalnızca 5 devrediyorsa) ile 0,1̄5̄ (15 blok devrediyorsa) karıştırmak. Devrin hangi basamaktan başladığını dikkatle oku; formül tamamen değişir.