Matematik
Temel Kavramlar — Sayı Kümeleri, Bölünebilme ve EBOB-EKOK
Sayı kümeleri, basamak çözümlemesi, işaret analizi, bölünebilme kuralları, kalan bulma ve EBOB-EKOK; sayısal bölümün tüm konularının üzerine kurulduğu temel taşı.
12 dk okuma · 6 bölüm
Sayı Kümeleri
Sayılar iç içe geçmiş kümelerle sınıflandırılır. Her küme bir öncekini kapsar:
| Küme | Simge | Elemanlar | Örnek |
|---|---|---|---|
| Sayma sayıları | — | 1, 2, 3, ... | 1, 7, 100 |
| Doğal sayılar | ℕ | 0, 1, 2, 3, ... | 0, 5, 42 |
| Tam sayılar | ℤ | ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... | −3, 0, 8 |
| Rasyonel sayılar | ℚ | a/b (a, b tam sayı, b ≠ 0) | 2/3, −5, 0,25 |
| İrrasyonel sayılar | — | Devirsiz sonsuz ondalık | √2, π |
| Gerçek (reel) sayılar | ℝ | Rasyonel + irrasyonel | tüm sayılar |
Önemli ayrımlar:
- 0 bir doğal sayıdır ama sayma sayısı değildir.
- 0 çift sayıdır (2 ile tam bölünür) ama pozitif de negatif de değildir; işareti nötrdür.
- Her tam sayı rasyoneldir (örneğin 5 = 5/1) ama her rasyonel tam sayı değildir.
Basamak Değeri ve Çözümleme
Bir sayının her rakamı bulunduğu basamağa göre değer taşır. İki basamaklı ab sayısı:
ab = 10a + b
Üç basamaklı abc sayısı:
abc = 100a + 10b + c
Burada a, b, c rakamları (0–9) temsil eder; en soldaki rakam 0 olamaz. Örnek: 47 = 10·4 + 7. Rakamları yer değiştiren sayı ba = 10b + a olur.
Ardışık sayılar toplamı: 1'den n'e kadar ardışık doğal sayıların toplamı:
1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1) / 2
Ardışık sayılar aritmetik dizidir; toplam = (ilk terim + son terim) × terim sayısı ÷ 2.
Bölünebilme Kuralları
| Bölen | Kural |
|---|---|
| 2 | Son rakam çift (0,2,4,6,8) |
| 3 | Rakamlar toplamı 3'ün katı |
| 4 | Son iki basamağı 4'ün katı (ya da 00) |
| 5 | Son rakam 0 veya 5 |
| 9 | Rakamlar toplamı 9'un katı |
| 11 | (Birler + yüzler + ...) − (onlar + binler + ...) farkı 0 veya 11'in katı |
Örnek (11 kuralı): 2 5 8 4 sayısında sağdan başlayıp +,−,+,− işaretlerle: 4 − 8 + 5 − 2 = −1. −1, 11'in katı olmadığından 2584 sayısı 11 ile bölünmez.
Bir sayı hem 2 hem 3 ile bölünüyorsa 6 ile de bölünür (aralarında asal bölenlerin çarpımı kuralı).
Kalan Bulma ve EBOB-EKOK
Bölme algoritması: Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan, ve 0 ≤ Kalan < Bölen. Örneğin 47'yi 5'e bölersek: 47 = 5·9 + 2, kalan 2'dir.
EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki sayıyı ortak bölen en büyük sayı. Asal çarpanların ortak olanlarının en küçük üsleri çarpılır. "En fazla kaç eşit gruba/parçaya", "en büyük tam sayı" tipi problemlerde kullanılır.
EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki sayının ortak katlarının en küçüğü. Asal çarpanların hepsinin en büyük üsleri çarpılır. "Aynı anda tekrar", "en az kaç ... ", "birlikte başlayıp ne zaman buluşur" tipi problemlerde kullanılır.
İki pozitif tam sayı için altın kural:
EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b
Örnek: 12 = 2²·3, 18 = 2·3². EBOB = 2·3 = 6, EKOK = 2²·3² = 36. Kontrol: 6·36 = 216 = 12·18. ✓
Sık Yapılan Hatalar
- 0'ı pozitif sanmak: 0 ne pozitif ne negatiftir; ama çifttir.
- Negatif kuvvet işareti: (−2)⁴ = +16 (çift kuvvet pozitif), (−2)³ = −8 (tek kuvvet negatif). Ayrıca −2⁴ = −16 çünkü üs önce sadece 2'ye uygulanır, eksi dışarıda kalır.
- EBOB/EKOK karıştırmak: "En fazla eşit parça" → EBOB; "aynı anda tekrar/en az" → EKOK.
- 11 bölünebilme işaretini şaşırmak: İşaretlere daima birler basamağından (+) başlanır.
- Ardışık toplam formülünü ilk terim 0'dan sananlar: 1 + ... + n formülü n(n+1)/2'dir; 0 eklenmesi sonucu değiştirmez ama terim sayısını şaşırtır.
KPSS İpucu
Problemde bir koşul (tam sayı, sayma sayısı, x ≠ 0, çift/tek) verildiyse cevabı O koşul belirler; koşulu okumadan işleme başlama. İşaret sorularında negatif sayının kuvvetinde üssün tek mi çift mi olduğuna, işlem sorularında parantezin eksiyi kapsayıp kapsamadığına bak. EBOB-EKOK problemlerinde "en fazla/en büyük parça" ile "en az/aynı anda tekrar" ifadelerini vurgulayarak hangi aracın gerektiğini belirle.