Matematik
Basit Eşitsizlikler — Çözüm, Yön Değişimi ve Aralıkta Tam Sayı Sayma
Birinci dereceden eşitsizlikleri çözmeyi, negatifle çarpma/bölmede eşitsizlik yönünün değişmesini ve çift eşitsizlikte (a < x < b) tam sayı çözümlerini saymayı öğren.
11 dk okuma · 6 bölüm
Eşitsizlik Nedir?
İki ifadeyi <, >, ≤, ≥ işaretlerinden biriyle karşılaştıran ifadelere eşitsizlik denir. Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliğin çözümü tek bir sayı değil, sayı doğrusu üzerinde bir aralıktır.
- x < 3 ⇒ 3'ten küçük tüm sayılar (3 dahil değil, sayı doğrusunda içi boş nokta °).
- x ≤ 3 ⇒ 3 ve 3'ten küçük tüm sayılar (3 dahil, içi dolu nokta •).
Aralık gösterimi: −1 ≤ x < 3 ifadesi [−1, 3) aralığıdır; sol uç dahil, sağ uç dahil değildir.
Çözüm Kuralları (Eşitliğe Benzer, Tek Bir Farkla)
Eşitsizlikler tıpkı denklemler gibi çözülür: her iki tarafa aynı sayı eklenir/çıkarılır, her iki taraf aynı sayıya çarpılır/bölünür. TEK FARK: negatif bir sayıyla çarpar veya bölerken eşitsizliğin YÖNÜ değişir.
| İşlem | Örnek | Yön |
|---|---|---|
| İki tarafa ekle/çıkar | x + 5 < 9 ⇒ x < 4 | Değişmez |
| Pozitif sayıyla çarp/böl | 3x ≤ 12 ⇒ x ≤ 4 | Değişmez |
| Negatif sayıyla çarp/böl | −2x > 8 ⇒ x < −4 | DÖNER (> → <) |
| Tarafları yer değiştir | 5 > x ⇔ x < 5 | Uygun biçimde döner |
Kilit kural: Bilinmeyenin katsayısı negatifse, çözümün son adımında yön mutlaka değişir.
Çözümlü Örnekler
Örnek 1 — Basit çözüm: 3x − 5 < 7 − x Bilinmeyenleri sola topla: 3x + x < 7 + 5 ⇒ 4x < 12 ⇒ x < 3. Sağladığı en büyük tam sayı 2'dir (3 dahil değil).
Örnek 2 — Yön değişimi: 5 − (2x ÷ 3) > 1 −(2x ÷ 3) > −4 ⇒ (her iki tarafı −3 ile çarp, yön DÖNER) 2x < 12 ⇒ x < 6. En büyük tam sayı çözüm 5'tir.
Örnek 3 — Çift eşitsizlik ve tam sayı sayma: −3 ≤ 2x − 1 < 5 Üç tarafa da +1 ekle: −2 ≤ 2x < 6 ⇒ (üçe de ÷2) −1 ≤ x < 3. Tam sayı çözümler: −1, 0, 1, 2 ⇒ 4 adet. (Sol uç dahil, sağ uç değil.)
Örnek 4 — İşaret incelemesi (çarpım): (x − 1)(x + 3) < 0 Çarpımın negatif olması için çarpanlar zıt işaretli olmalı; bu da köklerin arasında olur: −3 < x < 1. Tam sayı çözümler: −2, −1, 0 ⇒ 3 adet.
Çift Eşitsizlikte Tam Sayı Sayma
a < x < b biçiminde bir aralıkta tam sayı sayarken uçların dahil olup olmadığı belirleyicidir:
- a ≤ x ≤ b (her iki uç dahil): tam sayı sayısı = (b − a) + 1 (a, b tam sayıysa).
- a < x < b (hiçbir uç dahil değil): uçlar tam sayıysa onları sayma.
- Pratik yol: aralığı bulduktan sonra tam sayıları tek tek yazıp say; işaret ve uç hataları böyle önlenir.
Örnek: 2 < x ≤ 6 ⇒ tam sayılar 3, 4, 5, 6 (dört tane); 2 dahil değil, 6 dahil.
Sık Yapılan Hatalar
- Yön değiştirmeyi unutmak: −x < 5 ifadesini x < −5 yazmak (DOĞRUSU x > −5).
- Uç noktayı yanlış saymak: −1 ≤ x < 3 aralığında 3'ü de saymak; oysa 3 dahil değildir.
- Çift eşitsizlikte tek tarafa işlem yapmak: −3 ≤ 2x − 1 < 5'te sadece bir tarafa +1 eklemek. İşlem üç tarafa birden uygulanmalı.
- Katsayının işaretini gözden kaçırmak: 4 − 2x'i sadeleştirirken −2x'in negatif katsayısını unutup yönü çevirmemek.
- Kesirli eşitsizlikte payda ile çarparken işaret: Paydayı yok etmek için çarpılan sayı pozitifse yön korunur; bu genelde pozitif seçilir ama negatifse yön döner.
KPSS İpucu
Bir eşitsizlik çözdüğünde, bulduğun aralığın bir sayısını orijinal eşitsizlikte deneyerek doğrula (ör. x < 3 bulduysan x = 0 sağlıyor mu?). "Tam sayı çözüm sayısı" sorularında aralığı bulduktan sonra tam sayıları listele ve say; uç noktalar için < ile ≤ ayrımını mutlaka kontrol et. Negatif katsayı gördüğün an "yön dönecek" diye kendine not düş.