Köklü Sayılar — Sadeleştirme, Rasyonelleştirme ve Kökle İşlemler

Bir a ≥ 0 sayısının karekökü, karesi a olan negatif olmayan sayıdır: √a = b ise b² = a ve b ≥ 0. Örneğin √25 = 5 (−5 değil), çünkü kök simgesi daima negatif olmayan değeri gösterir.

Genel olarak n. dereceden kök: ⁿ√a. Bu konunun ağırlığı karekök (n = 2) üzerinedir.

Çok kritik bir kural: √(a²) = |a|. Yani √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|. Sadece a ≥ 0 iken √(a²) = a yazılabilir.

İfade	Doğru sonuç	Sık yapılan hata
√49	7	±7 (kök tek işaret verir)
√(x²)	|x|	x
√0	0	tanımsız
√(−4)	reel değil	−2

a, b ≥ 0 için temel kurallar:

• Çarpım: √a × √b = √(a×b)
• Bölüm: √a ÷ √b = √(a/b) (b > 0)
• Kökü dışarı alma: √(a²·b) = a√b (a ≥ 0). Kök içindeki tam kare çarpanı dışarı çıkar.
• Kökü içeri alma: a√b = √(a²·b) (a ≥ 0).

Sadeleştirme örneği: √72'yi sadeleştir. 72 = 36 × 2 = 6² × 2, öyleyse √72 = 6√2.

İçeri alma örneği: 3√5'i tek kök yap: 3√5 = √(3²·5) = √45.

Dikkat: Katsayı kök içine girerken karesi alınarak girer. 3√5 = √45'tir, √15 değil.

Köklü ifadelerde toplama/çıkarma yalnızca kök içi (kökün derecesi ve radikandı) aynı terimler arasında yapılır; katsayılar toplanır, kök aynen kalır:

• 2√3 + 5√3 = 7√3 (doğru)
• √2 + √3 ≠ √5 (birleştirilemez)

Bunun için önce her terim sadeleştirilir, sonra benzer olanlar toplanır:

Örnek: √50 + √18 − √8 = 5√2 + 3√2 − 2√2 = (5 + 3 − 2)√2 = 6√2.

Paydada kök varsa, ifadeyi payda köksüz hâle getiririz.

Tek terimli payda: a/√b ifadesini √b ile genişlet: a/√b = (a√b)/b. Örnek: 6/√3 = (6√3)/3 = 2√3.

İki terimli payda (eşlenik): Payda √a + √b veya x + √b biçimindeyse, eşlenik ile (işareti değiştirilmiş hâliyle) hem pay hem payda çarpılır. Kullanılan özdeşlik: (x − y)(x + y) = x² − y².

Örnek: 1/(√5 − √2)'yi rasyonelleştir. Eşlenik √5 + √2:

1/(√5 − √2) × (√5 + √2)/(√5 + √2) = (√5 + √2) / ((√5)² − (√2)²) = (√5 + √2)/(5 − 2) = (√5 + √2)/3.

Anahtar: Eşlenikte sadece iç işaret değişir; (√5 − √2)'nin eşleniği (√5 + √2)'dir. Payda daima kare farkına dönüşerek köksüzleşir.

Farklı katsayılı köklü sayıları sıralamak için hepsini tek kök altına toplarız (içeri alma):

• 2√5 = √(4·5) = √20
• 3√2 = √(9·2) = √18
• 4√1 = √16

Kök içleri büyüdükçe sayı büyür: √16 < √18 < √20 → 4 < 3√2 < 2√5.

Farklı dereceli kökleri (√ ve ³√ gibi) karşılaştırmak için ortak dereceye (kök içlerini ortak kök derecesine) getirmek gerekir; ör. √2 = ⁶√8, ³√3 = ⁶√9, dolayısıyla √2 < ³√3.

√(a√b) veya √(a + √b) gibi ifadeler dıştan içe kurgulanır ama işlemsel olarak içteki kök önce hesaplanır.

Basit iç içe kök: √(√256) gibi ifadeler içten dışa çözülür: önce √256 = 16, sonra √16 = 4.

Kendini tekrar eden sonsuz kök: √(6 + √(6 + √(6 + ...))) sonsuz tekrarında x = √(6 + x) ⇒ x² = 6 + x ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ (x−3)(x+2) = 0 ⇒ x = 3 (kök negatif olamaz).

Çarpımsal örnek: √(4·√4) = √(4·2) = √8 = 2√2.

• √a + √b'yi √(a+b) sanmak (YANLIŞ). Kök toplamda dağılmaz.
• √(a²) = a yazmak; doğrusu |a|.
• Katsayıyı kök içine sokarken karesini almamak (3√2'yi √6 yapmak yanlış; doğrusu √18).
• Eşlenikte payda işaretini değiştirmemek ya da yalnızca paydayı çarpıp payı unutmak.
• Sıralamada katsayıları göz ardı edip yalnızca kök içlerine bakmak.

Rasyonelleştirme ve sadeleştirme neredeyse her sınavda çıkar. Bir soruda payda köklüyse refleksle eşlenikle genişlet. Sıralama sorularında sayıları tek kök altına al; kök dışına almadan gözle karşılaştırmaya çalışma. √(a²) gördüğünde a'nın işaretini sorgulayıp mutlak değeri unutma.