Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?

Bir iç açısının ölçüsü (n − 2)·180/n derecedir.

Dış açılarının ölçüleri toplamı 360°'dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı (n − 2)·180°'dir.

Bir köşesinden (n − 3) tane köşegen çizilebilir.

Toplam köşegen sayısı n(n − 3)/2'dir.

Çokgenler — Açılar, Köşegenler ve Kenar Sayısı Bulma

Temel Kavramlar

Çokgen, en az üç doğru parçasının uç uca birleşmesiyle oluşan kapalı düzlemsel şekildir. Kenar sayısı n ile gösterilir (n ≥ 3). Üçgen n=3, dörtgen n=4, beşgen n=5, altıgen n=6 kenarlıdır.

Düzgün çokgen: Tüm kenarları eşit ve tüm açıları eşit olan çokgendir. Bu bölümdeki iç açı ve dış açı formülleri (tek bir açı için) YALNIZCA düzgün çokgende geçerlidir. Ancak iç açılar toplamı ve köşegen sayısı her (dışbükey) çokgende geçerlidir; düzgün olması gerekmez.

Köşegen: Bir çokgende komşu OLMAYAN iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Komşu köşeleri birleştiren doğru parçası kenardır, köşegen değildir.

Formüller

Kavram	Formül	Nerede geçerli?
İç açılar toplamı	(n − 2) × 180°	Her dışbükey çokgen
Bir iç açı (düzgün)	(n − 2) × 180° / n	Yalnız düzgün çokgen
Bir dış açı (düzgün)	360° / n	Yalnız düzgün çokgen
Dış açılar toplamı	360°	Her dışbükey çokgen
İç açı + dış açı	180°	Aynı köşede (bütünler)
Toplam köşegen sayısı	n × (n − 3) / 2	Her çokgen
Bir köşeden çıkan köşegen	n − 3	Her çokgen

Kenar sayısı (n) bulma: Verilen bir dış açıdan n en hızlı bulunur: n = 360° / (dış açı). İç açı verilirse önce dış açı = 180° − iç açı hesaplanır, sonra n = 360° / dış açı. Köşegen sayısı verilirse n(n−3)/2 = köşegen denkleminden n çözülür.

Çözümlü Örnekler

Örnek 1 (dış açıdan n): Düzgün bir çokgenin bir dış açısı 24° ise kenar sayısı kaçtır? n = 360 / 24 = 15. Cevap: 15 kenar.

Örnek 2 (iç açıdan n): Bir iç açısı 150° olan düzgün çokgenin kenar sayısı? Dış açı = 180 − 150 = 30°. n = 360 / 30 = 12. Cevap: 12 kenar.

Örnek 3 (köşegen sayısından n): Köşegen sayısı 20 olan çokgenin kenar sayısı? n(n−3)/2 = 20 → n(n−3) = 40 → 8·5 = 40 olduğundan n = 8. Cevap: sekizgen.

Örnek 4 (iç açılar toplamı): İç açıları toplamı 1260° olan çokgenin kenar sayısı? (n − 2)·180 = 1260 → n − 2 = 7 → n = 9. Cevap: dokuzgen.

Sık Yapılan Hatalar

Bir iç açı ile iç açılar TOPLAMINI karıştırmak: Soru "bir iç açısı 108°" derse düzgün beşgen (n=5); "iç açıları toplamı 108°" ise anlamsızdır. Toplam formülü (n−2)·180, tek açı formülü (n−2)·180/n'dir.
İç açının tümleyeni sanmak: Dış açı, iç açının BÜTÜNLEYENİDİR (toplamları 180°), tümleyeni (90°) DEĞİLDİR. Dış açı = 180 − iç açı.
Köşegen formülünü /2 yapmadan bırakmak: n(n−3) her köşegeni İKİ kez sayar; mutlaka 2'ye bölünmelidir. Örneğin altıgende 6·3 = 18 değil, 18/2 = 9 köşegen vardır.
Bir köşeden çıkan köşegeni (n−3) ile toplam köşegeni karıştırmak: Tek köşeden n−3, toplamda n(n−3)/2 köşegen vardır.
Dış açılar toplamını n ile değişir sanmak: Dışbükey her çokgende dış açılar toplamı kenar sayısından bağımsız olarak DAİMA 360°'dir.

KPSS İpucu

KPSS'de bu konu çoğu zaman "kenar sayısını bul, sonra başka bir şeyi hesapla" biçiminde iki adımlı gelir (örneğin: "bir iç açısı 144° olan düzgün çokgenin köşegen sayısı kaçtır?"). Refleks: önce dış açıdan n'i bul (n = 360/dış açı), sonra istenen büyüklüğü (köşegen, iç açı toplamı) o n ile hesapla. Dış açı üzerinden gitmek, iç açı formülünü çözmekten daima daha hızlı ve hatasızdır.

Bu konudan 10 soru

Okuduğunu hemen sına — her sorunun çözümü altında.

10 sorudan 0 tanesi cevaplandıSkor: 0/10

1.
Düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü 40° olduğuna göre, bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: D — 140
Bir dış açı ile bir iç açı bütünlerdir (toplamları 180°). İç açı = 180 − 40 = 140°. (İstenirse n = 360/40 = 9, ve (9−2)·180/9 = 1260/9 = 140° ile de doğrulanır.)
Dış açıyı iç açının tümleyeni (90 − 40 = 50) sanmak veya önce n = 9 bulup gereksiz yere (n−2)·180 = 1260 toplamını iç açı diye vermek.
2.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısı, bir iç açısının üçte biri kadardır. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: C — 8
Düzgün çokgende bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir: iç + dış = 180°. Dış açı, iç açının üçte biri olduğuna göre iç = 3·dış. Yerine yazarsak 3·dış + dış = 180 → 4·dış = 180 → dış açı = 45°. Düzgün çokgende dış açıların toplamı 360° olduğundan kenar sayısı = 360 / 45 = 8’dir.
Öğrenci iç ve dış açının bütünler (toplamı 180°) olduğunu unutup dış açıyı doğrudan iç açının üçte biri diye yanlış değerlerle hesaplar.
3.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?
YanlışDoğru cevap: E — Bir iç açısının ölçüsü (n − 2)·180/n derecedir.
A, B, C, D ifadeleri düzgün olsun olmasın her dışbükey çokgende geçerlidir. Ancak 'bir iç açı = (n−2)·180/n' formülü YALNIZCA düzgün (tüm açıları eşit) çokgende geçerlidir; herhangi bir dışbükey çokgende açılar eşit olmayabileceğinden E her çokgen için doğru değildir.
Tek açı formülünün (iç açı = toplam/n) her çokgende geçerli olduğunu sanmak; oysa açıların eşit paylaşımı yalnız DÜZGÜN çokgende doğrudur.
4.
Bir düzgün çokgenin iç açıları toplamı, dış açıları toplamının 6 katıdır. Buna göre bu çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 11
Dış açılar toplamı her zaman 360°. İç açılar toplamı = 6·360 = 2160°. (n−2)·180 = 2160 → n−2 = 12 → n = 14. Bir köşeden çizilen köşegen sayısı = n − 3 = 14 − 3 = 11.
Dış açılar toplamını 360/n (bir dış açı) sanıp yanlış denklem kurmak; ayrıca son adımda toplam köşegen n(n−3)/2 ile bir köşeden çıkan (n−3) köşegeni karıştırmak.
5.
Bir çokgenin iç açıları toplamı 1440° olduğuna göre, bu çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 35
İç açılar toplamı (n−2)·180 = 1440 → n−2 = 8 → n = 10. Köşegen sayısı = n(n−3)/2 = 10·7/2 = 70/2 = 35.
n bulunduktan sonra köşegen formülünde /2 yapmayı unutup 10·7 = 70 demek ya da n−3 = 7'yi doğrudan köşegen sayısı sanmak.
6.
Düzgün bir A çokgeninin kenar sayısı, düzgün bir B çokgeninin kenar sayısının 2 katıdır. A'nın bir dış açısı, B'nin bir dış açısından 30° küçük olduğuna göre, B çokgeni kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: B — 6
B'nin kenar sayısı k olsun; A'nınki 2k. Dış açılar: B için 360/k, A için 360/(2k) = 180/k. Koşul: 360/k − 180/k = 30 → 180/k = 30 → k = 6. (Kontrol: B'nin dış açısı 360/6 = 60°, A'nın 360/12 = 30°, fark 30°.)
A'nın kenarı 2 kat olunca dış açısının da 2 kat OLDUĞUNU sanmak; oysa dış açı kenar sayısıyla ters orantılıdır, kenar 2 katına çıkınca dış açı YARIYA iner.
7.
Düzgün bir çokgenin kenar sayısı 2 artırıldığında bir dış açısının ölçüsü 30° azalmaktadır. Buna göre çokgenin başlangıçtaki kenar sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 4
Bir dış açı = 360/n. Koşul: 360/n − 360/(n+2) = 30. Paydaları eşitleyip düzenlersek 360(n+2) − 360n = 30·n·(n+2) → 360·2 = 30·n(n+2) → 720 = 30·n(n+2) → n(n+2) = 24. Farkı 2 olan iki çarpan 4·6 = 24 olduğundan n = 4. (Kontrol: 360/4 = 90°, 360/6 = 60°, fark = 30°.)
360/n − 360/(n+2) farkını 360/(2n+2) gibi yanlış sadeleştirmek ya da dış açının kenar sayısıyla ters orantılı olduğunu göz ardı edip azalmayı doğrusal varsaymak.
8.
Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 8'dir. Buna göre bu çokgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: B — 1620
Bir köşeden çıkan köşegen sayısı n − 3 = 8 → n = 11. İç açılar toplamı = (n−2)·180 = (11−2)·180 = 9·180 = 1620°.
Bir köşeden çıkan köşegeni n − 3 yerine n − 2 (=8, n=10) ya da n (=8) sanmak; ayrıca toplam formülünde n−2 yerine n kullanmak.
9.
Bir iç açısı 144° olan düzgün bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 35
Dış açı = 180 − 144 = 36°. Kenar sayısı n = 360/36 = 10. Köşegen sayısı = n(n−3)/2 = 10·7/2 = 35.
İç açı 144°'yi doğrudan köşegen formülüne sokmaya çalışmak ya da n=10 bulduktan sonra /2 yapmayı unutup 70 demek.
10.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir iç açısının ölçüsünün 1/5'ine eşittir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: E — 12
Bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir: iç + dış = 180°. Dış açı, iç açının 1/5'i ise iç = 5·dış yazılır. Yerine koyunca 5·dış + dış = 180°, yani 6·dış = 180° ve dış açı = 30° olur. Düzgün çokgende dış açıların toplamı 360° olduğundan kenar sayısı 360 / 30 = 12'dir.
İç ve dış açının bütünler (toplamı 180°) olduğu göz ardı edilir; ayrıca dış açılar toplamının çokgenden bağımsız 360° olduğu unutulur.

Temel Kavramlar

Formüller

Çözümlü Örnekler

Sık Yapılan Hatalar

KPSS İpucu

Bu konudan 10 soru

Düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü 40° olduğuna göre, bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Bir düzgün çokgenin bir dış açısı, bir iç açısının üçte biri kadardır. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?

Bir düzgün çokgenin iç açıları toplamı, dış açıları toplamının 6 katıdır. Buna göre bu çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı kaçtır?

Bir çokgenin iç açıları toplamı 1440° olduğuna göre, bu çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

Düzgün bir A çokgeninin kenar sayısı, düzgün bir B çokgeninin kenar sayısının 2 katıdır. A'nın bir dış açısı, B'nin bir dış açısından 30° küçük olduğuna göre, B çokgeni kaç kenarlıdır?

Düzgün bir çokgenin kenar sayısı 2 artırıldığında bir dış açısının ölçüsü 30° azalmaktadır. Buna göre çokgenin başlangıçtaki kenar sayısı kaçtır?

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 8'dir. Buna göre bu çokgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

Bir iç açısı 144° olan düzgün bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir iç açısının ölçüsünün 1/5'ine eşittir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

Matematik — diğer konu anlatımları