KPSS Çarpanlara Ayırma — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: C — 7

İki kare farkı özelliği: a² − b² = (a − b)(a + b). Verilenleri yerine yazarız: 28 = 4 · (a + b). Buradan a + b = 28 / 4 = 7 bulunur.

Öğrenci a²−b² = (a−b)(a+b) çarpanlamasını kullanmak yerine a ve b'yi tek tek bulmaya çalışıp gereksiz denklem kurar veya (a−b)² ile karıştırır.

YanlışDoğru cevap: B — 13

x²+5x+6=(x+2)(x+3)=0 olduğundan kökler −2 ve −3'tür. x₁²+x₂² = (−2)² + (−3)² = 4 + 9 = 13. (Alternatif: kökler toplamı −5, çarpımı 6; x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=25−12=13.)

Kökler toplamının karesi (25) doğrudan cevap sanılır; oysa x₁²+x₂²=(toplam)²−2·(çarpım) formülüyle 25−12=13 bulunur.

YanlışDoğru cevap: E — x − 5

x² − 25 = x² − 5² iki kare farkıdır: (x − 5)(x + 5). İfade (x − 5)(x + 5)/(x + 5) = x − 5 olur.

İki kare farkı a² − b² = (a − b)(a + b) biçiminde ayrılır; x² − 25 doğrudan sadeleşmez, önce çarpanlara ayrılmalıdır.

YanlışDoğru cevap: A — 29

a² + b² = (a + b)² − 2ab özdeşliği kullanılır: 7² − 2·10 = 49 − 20 = 29.

a² + b² doğrudan (a + b)²'ye eşit değildir; 2ab terimi çıkarılmalıdır. 49 sonucu bu terimi unutmaktan gelir.

YanlışDoğru cevap: C — x² + 9

x² − 16 = (x−4)(x+4); x² + 6x + 9 = (x+3)²; x³ − 8 = (x−2)(x²+2x+4); x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3). Ancak x² + 9 iki kare TOPLAMIDIR ve reel sayılarda çarpanlara ayrılamaz.

İki kare toplamı a² + b² reel sayılarda çarpanlara ayrılamaz; yalnızca iki kare farkı ayrılır. Öğrenci x² + 9'u (x+3)² sanabilir, ama (x+3)² = x²+6x+9'dur.

YanlışDoğru cevap: D — 63

a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b) köprü bağıntısı kullanılır: 3³ + 3·4·3 = 27 + 36 = 63. (Alternatif: a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²), a²+b² = (a−b)²+2ab = 9+8 = 17, dolayısıyla a²+ab+b² = 17+4 = 21; 3·21 = 63.)

Küpler farkında orta terim +ab'dir; ayrıca a³ − b³ = (a−b)³ sanmak (3·ab·(a−b) düzeltmesini unutmak) 27 hatalı sonucunu verir.

YanlışDoğru cevap: A — (a + b)(x + y)

Gruplandırma: a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). İlk iki terimden a, son iki terimden b ortak parantezine alınır ve (x + y) ortak çarpan olarak dışarı alınır.

Gruplandırmada terimler ortak parantez oluşturacak biçimde eşleştirilmelidir; (a + x)(b + y) açıldığında ab + ay + bx + xy verir, bu ise soruyla uyuşmaz.

YanlışDoğru cevap: D — 10

x² − y² = (x − y)(x + y) olduğundan 40 = 4·(x + y). Buradan x + y = 40/4 = 10 bulunur.

İki kare farkı (x−y)(x+y) biçiminde ayrılır. x+y'yi 40−4 = 36 gibi çıkararak bulmaya çalışmak yaygın hatadır.

YanlışDoğru cevap: B — 4ab

İki kare farkı gibi düşünülür: [(a+b) − (a−b)]·[(a+b) + (a−b)] = (2b)(2a) = 4ab. Açık hesap: (a²+2ab+b²) − (a²−2ab+b²) = 4ab.

Parantezlerdeki ikinci ifade çıkarılırken işaretler dağıtılmalıdır; −(a²−2ab+b²) teriminde −(−2ab) = +2ab olur. İşaret hatası 2ab verir.

YanlışDoğru cevap: B — (x + 2)/x

x² − 4 = (x−2)(x+2); x² + x = x(x+1). İfade: (x−2)(x+2)(x+1) / [(x−2)·x·(x+1)]. (x−2) ve (x+1) sadeleşir: (x+2)/x.

Sadeleştirmeden önce hem pay hem paydadaki TÜM ifadeler çarpanlarına ayrılmalıdır; x²+x = x(x+1) ayrımı atlanırsa yanlış sonuca ulaşılır.

YanlışDoğru cevap: E — 14

(x + 1/x)² = x² + 2·x·(1/x) + 1/x² = x² + 1/x² + 2. O halde x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 4² − 2 = 16 − 2 = 14.

(x + 1/x)² açılımındaki orta terim 2·x·(1/x) = 2'dir; bunu çıkarmayı unutan öğrenci 16 bulur.

YanlışDoğru cevap: C — 126

a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 6³ − 3·5·6 = 216 − 90 = 126.

a³ + b³ = (a + b)³ sanmak (düzeltme terimi 3ab(a+b)'yi unutmak) 216 hatalı sonucunu verir.

YanlışDoğru cevap: D — İfade (x − 1)(x − 6) biçiminde çarpanlarına ayrılır.

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), çünkü çarpımları 6, toplamları 5 olan iki sayı 2 ve 3'tür. (x−1)(x−6) = x² − 7x + 6 verir, bu ise soruyla uyuşmaz; dolayısıyla D yanlıştır. A, C, E doğru; B'de çarpanların toplamı (x−2)+(x−3) = 2x−5 doğrudur.

Çarpanları bulurken sabit terime (6) tek başına bakılıp orta terim (−5) kontrol edilmezse (x−1)(x−6) gibi yanlış ayrım seçilir; çarpım 6 olsa da toplam 7 çıkar.

YanlışDoğru cevap: C — 640

İki kare farkı özdeşliği: 37² − 27² = (37 − 27)(37 + 27) = 10·64 = 640.

Kareler tek tek hesaplanmaya çalışılırsa hem uzun sürer hem hataya açıktır; (37−27)² = 100 sanmak (farkın karesi ile karelerin farkını karıştırmak) yaygın tuzaktır.

YanlışDoğru cevap: A — 14

x² − y² = (x − y)(x + y) = 5·(x + y) = 45 olduğundan x + y = 9. x − y = 5 ile birlikte: 2x = 14, x = 7; y = 2. x·y = 7·2 = 14. Köprü kontrolü: 4xy = (x+y)² − (x−y)² = 81 − 25 = 56, xy = 56/4 = 14.

Önce (x−y)(x+y)=x²−y² köprüsüyle x+y bulunur, sonra x ve y çözülür ya da 4xy=(x+y)²−(x−y)² köprüsü kullanılır. xy'yi doğrudan x²−y² üzerinden okumaya çalışmak (örn. 45−5) hatalıdır.

YanlışDoğru cevap: B — 6x²y(2x − 3y)

Katsayıların EBOB'u 6, ortak değişkenler x²'nin en düşük kuvveti x² ve y'nin en düşük kuvveti y'dir. Ortak çarpan 6x²y: 12x³y = 6x²y·2x, 18x²y² = 6x²y·3y. Sonuç: 6x²y(2x − 3y).

Ortak çarpan alınırken her değişkenin EN KÜÇÜK kuvveti alınır; ayrıca parantez içi tam sadeleşmelidir. 3x²y(4x−6y) veya 2x²y(6x−9y) tam sade değildir (parantez içinde hâlâ ortak çarpan var).

YanlışDoğru cevap: E — 12

x³ − 27 = x³ − 3³ küpler farkıdır: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). a = x, b = 3 için (x − 3)(x² + 3x + 9) elde edilir. Verilen kalıpla karşılaştırınca a = 3, b = 9 olur; a + b = 3 + 9 = 12.

Küpler farkında ikinci çarpanın orta terimi +ab (burada +3x), son terimi +b² (burada +9) olur. Orta terimi −3x sanmak (küpler toplamıyla karıştırmak) a = −3 → a + b = 6 hatasını; orta terimi unutup a = 0 almak ise a + b = 9 hatasını verir.