KPSS Rasyonel Sayılar — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: D — 2/3

Önce bölme: 2/3 ÷ 4/9 = 2/3 × 9/4 = 18/12 = 3/2. Sonra çarpma: 1/2 × 5/3 = 5/6. Çıkarma için paydalar eşitlenir: 3/2 = 9/6, dolayısıyla 9/6 − 5/6 = 4/6 = 2/3. Sonuç 2/3’tür.

Kesir bölmesinde ikinci kesir ters çevrilip çarpılır; ayrıca işlem önceliğinde çarpma-bölme yapıldıktan sonra çıkarmada paydaların eşitlenmesi gerekir.

YanlışDoğru cevap: B — 1/2

Birinci gün işin 1/3’ü bitince kalan 1 − 1/3 = 2/3’tür. İkinci gün, KALAN kısmın (2/3) 1/4’ü yapılır: (2/3)×(1/4) = 2/12 = 1/6. İki günde toplam 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 bitmiştir. Geriye 1 − 1/2 = 1/2 kalır.

İkinci gün ‘işin 1/4’ü’ sanılıp doğrudan 1/3+1/4 hesaplanır; oysa 1/4, kalan kısmın oranıdır.

YanlışDoğru cevap: B — 35/72

Önce 1/2+1/3: ortak payda 6, 3/6+2/6=5/6. Sonra 3/4-1/6: ortak payda 12, 9/12-2/12=7/12. Çarpım: (5/6)×(7/12)=35/72. Sadeleşmez (35=5·7, 72=8·9). Doğru yanıt 35/72.

Öğrenci kesirleri toplarken/çıkarırken payları doğrudan toplayıp paydayı sabit tutar (örn. 1/2+1/3=2/5); doğru yöntem ortak paydaya getirmektir, sonuç 35/72'dir.

YanlışDoğru cevap: B — 1/2

İlk gün işin 1/3'ü yapılır; kalan = 1 − 1/3 = 2/3. İkinci gün kalanın 1/4'ü yapılır: (1/4)·(2/3) = 2/12 = 1/6. Toplam yapılan = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Yapılmayan kısım = 1 − 1/2 = 1/2. Doğru yanıt B'dir.

"Kalanın 1/4'ü" ifadesi işin tamamının 1/4'ü değildir; ikinci gün oranı, birinci günden arta kalan (2/3) üzerinden hesaplanır. Öğrenci 1/3 + 1/4 diyerek yanlış toplama yapar (C bu hatanın sonucudur).

YanlışDoğru cevap: A — 2/5

İşin tamamı 1 kabul edilir. İlk aşamada 2/5 biter; kalan 1-2/5=3/5'tir. İkinci aşamada bu kalanın 1/3'ü biter: (3/5)×(1/3)=1/5. Toplam biten: 2/5+1/5=3/5. Bitmeyen kısım: 1-3/5=2/5 (A). Yani işin 2/5'i hâlâ tamamlanmamıştır.

İkinci oran (1/3) işin tamamının değil, kalan 3/5'lik kısmın üzerinden alınır; bu yüzden 1/3 doğrudan çıkarılmaz.

YanlışDoğru cevap: D — 4

Bölümün sonucu 1 olduğundan pay ile payda eşittir: 2/3 − 1/a = 1/a + 1/6. 1/a terimlerini bir tarafta toplarsak 2/3 − 1/6 = 1/a + 1/a = 2/a olur. Sol taraf 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2 eder. Böylece 2/a = 1/2 ve buradan a = 4 bulunur.

Bölümün 1 olması pay=payda demektir; ayrıca 1/a terimleri karşı tarafa geçerken işaret değiştirir ve toplanır.

YanlışDoğru cevap: A — 1

Bölme ve çarpma aynı önceliktedir; soldan sağa yapılır. Önce bölme: (3/4) ÷ (9/8) = (3/4) × (8/9) = 24/36 = 2/3. Sonra çarpma: (2/3) × (3/2) = 6/6 = 1.

Bölmede bölen (ikinci kesir) ters çevrilmelidir; ayrıca bölme ile çarpma aynı önceliktedir ve mutlaka soldan sağa sırayla yapılır, çarpma önce yapılırsa (9/16 gibi) yanlış sonuç çıkar.

YanlışDoğru cevap: D — 12/5

En içten dışa çözülür. 3 − 1/2 = 6/2 − 1/2 = 5/2. Ardından 1/(5/2) = 2/5. Son olarak 2 + 2/5 = 10/5 + 2/5 = 12/5.

İç içe kesirde önce en içteki 3 − 1/2 çözülmeli; 1/(5/2) ifadesi 5/2 değil ters çevrilerek 2/5'tir, ve dıştaki 2 en son eklenir.

YanlışDoğru cevap: C — 5/8 < 7/11 < 2/3

Ortak paydaya (264 = EKOK(8, 11, 3)) çevrilir: 5/8 = 165/264, 7/11 = 168/264, 2/3 = 176/264. Paylar kıyaslanır: 165 < 168 < 176, yani 5/8 < 7/11 < 2/3.

Kesirleri sıralarken paydası büyük olan otomatik olarak küçük sanılamaz; paylar da farklı olduğunda ortak payda veya çapraz çarpım şarttır.

YanlışDoğru cevap: D — 7/30

Sayıda 2 sabit, sadece 3 devrediyor. Formül: (tüm sayı − sabit kısım) / (devir basamağı kadar 9, sabit basamak kadar 0) = (23 − 2)/90 = 21/90. Sadeleştirilir: 21/90 = 7/30.

Devir sabit basamaktan sonra başlıyorsa paydada 9'ların yanında sabit basamak kadar 0 gelir (90); tümünü devir sanıp 23/99 almak yaygın hatadır, ayrıca sonuç en sade haliyle verilmelidir.

YanlışDoğru cevap: B — 6/9

Pay = x, payda = y. 'Pay 3 artınca değer 1' koşulu: (x + 3)/y = 1 → x + 3 = y. Toplam koşulu: x + y = 15. y yerine x + 3 yazılır: x + (x + 3) = 15 → 2x + 3 = 15 → 2x = 12 → x = 6, y = 9. Kesir: 6/9. Kontrol: (6 + 3)/9 = 9/9 = 1 ve 6 + 9 = 15 doğru.

İki koşullu kesir problemlerinde hem oran (pay 3 artınca değer 1) hem toplam denklemi birlikte kurulmalı; tek koşula bakmak (örneğin sadece toplamı 15 olan 5/10) yanlış şıkka götürür.

YanlışDoğru cevap: E — a × c = b

a × c = (2/3) × (4/5) = 8/15 ≈ 0,533; b = 3/4 = 0,75. 8/15 ≠ 3/4 olduğundan E yanlıştır. Diğerleri doğru: c − b = 4/5 − 3/4 = 16/20 − 15/20 = 1/20 (C doğru); a + b + c = 40/60 + 45/60 + 48/60 = 133/60 ≈ 2,22 > 2 (D doğru); üçü de 1'den küçük ve a < b < c sıralaması geçerli.

1'den küçük iki kesir çarpılınca sonuç ikisinden de küçük olur; a × c çarpımı b'ye eşit değildir, bu tuzağa düşülmemelidir.

YanlışDoğru cevap: A — 1/10

Her terim (1 − 1/n) = (n − 1)/n biçimindedir. Çarpım: (1/2)(2/3)(3/4) ... (9/10). Ardışık paylar ve paydalar teleskopik sadeleşir: geriye ilk pay 1 ve son payda 10 kalır. Sonuç 1/10.

Bu teleskopik çarpımda ara terimler karşılıklı sadeleşir; her parantezi ayrı hesaplamak yerine örüntü görülmelidir. 1/2 ile karıştırıp durmadan çarpmak hata üretir.

YanlışDoğru cevap: A — −15/8

−2 1/4 = −(2 + 1/4) = −9/4 = −18/8. Toplam: −18/8 + 3/8 = −15/8.

Negatif tam sayılı kesirde işaret hem tam kısma hem kesir kısmına dağıtılır; −2 1/4 = −9/4'tür, −2 + 1/4 değildir. İşaret dağıtılmazsa −17/8 gibi yanlış sonuç çıkar.

YanlışDoğru cevap: B — 12/28

Pay = x, payda = 40 − x. Koşul: (x − 4)/((40 − x) − 4) = 1/3 → (x − 4)/(36 − x) = 1/3. Çapraz çarpım: 3(x − 4) = 36 − x → 3x − 12 = 36 − x → 4x = 48 → x = 12. Kesir: pay 12, payda 40 − 12 = 28, yani 12/28. Kontrol: (12 − 4)/(28 − 4) = 8/24 = 1/3 doğru.

İki koşullu kesir problemlerinde hem toplam (pay + payda = 40) hem oran denklemi birlikte kurulmalı; tek koşulu sağlayan (örneğin 13/27, toplamı 40 ama oranı 1/3 değil) şıkka takılmak yanlıştır.

YanlışDoğru cevap: C — 26/33

0,45̄ = 45/99 = 5/11. 0,3̄ = 3/9 = 1/3. Toplam: 5/11 + 1/3 = 15/33 + 11/33 = 26/33.

İki basamak devirde payda 99, tek basamak devirde payda 9'dur; toplarken ortak payda (33) alınmalıdır. Payları/paydaları doğrudan toplamak hatalıdır.

YanlışDoğru cevap: E — 1/x sayısı 1'den büyüktür

x = 5/7 ≈ 0,714, yani 0 < x < 1. 1/x = 7/5 = 1,4 > 1, bu yüzden E doğru. A yanlış: 0 < x < 1 için x² = 25/49 ≈ 0,51 < x. B yanlış: x ≈ 0,71 < 1/x = 1,4. C yanlış: x + 1/x = 5/7 + 7/5 = 25/35 + 49/35 = 74/35 ≈ 2,11 > 2. D yanlış: x − 1/x = 0,71 − 1,4 < 0 (negatif).

0 ile 1 arasındaki bir sayının çarpmaya göre tersi 1'den büyüktür ve karesi kendisinden küçüktür; bu davranış 1'den büyük sayılardakinin tam tersidir.

YanlışDoğru cevap: B — 13/20

Doluluk oranları toplanır: 2/5 + 1/4. Ortak payda 20: 8/20 + 5/20 = 13/20. Depo 13/20 oranında (0,65) dolu olur.

Kesir oranları toplanırken paydalar eşitlenmeli; pay ve paydaları ayrı ayrı toplamak (2/5 + 1/4 = 3/9 gibi) yaygın ve yanlış bir işlemdir.

YanlışDoğru cevap: E — 5/3

En içten çözülür: 1 + 1/2 = 3/2. Sonra 1/(3/2) = 2/3. Ardından 1 + 2/3 = 5/3. En dış: 1/(5/3) = 3/5. Yani ifade 3/5 = 0,6 = 6/10 = 9/15'e eşittir. E şıkkındaki 5/3 ise ara adımdaki değerdir, nihai sonuç değildir; dolayısıyla eşit olmayan tek şık E'dir.

Sürekli kesirde ara basamak değeri (5/3) ile nihai sonuç (3/5) karıştırılır; en dıştaki 1/(...) bölmesi mutlaka uygulanmalıdır.

YanlışDoğru cevap: D — 18/25

0,75 = 3/4. a/b bu orana eşit olmalıdır. 6/8 = 3/4, 9/12 = 3/4, 15/20 = 3/4, 21/28 = 3/4 (hepsi sadeleşince 3/4). 18/25 = 0,72 ≠ 0,75 olduğundan 3/4'e eşit değildir; bu değer olamaz.

Bir kesrin farklı görünen tüm denk biçimleri sadeleşince aynı orana iner; 18/25 sadeleşmez ve 3/4 değildir, göz kararı benzer görünmesi yanıltıcıdır.

YanlışDoğru cevap: C — 1/2

İlk gün 1/3 biter, kalan 2/3. İkinci gün kalanın 1/4'ü: (1/4) × (2/3) = 2/12 = 1/6 biter. İlk iki gün toplam: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Üçüncü güne kalan: 1 − 1/2 = 1/2.

'Kalanın 1/4'ü' ifadesi tüm işin 1/4'ü değil, o ana kadar kalan miktarın 1/4'üdür; referansı yanlış almak (1/3 + 1/4 = 7/12 gibi) hataya yol açar.