KPSS Üslü Sayılar — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: B — 1/2

Tüm tabanları 2'ye çeviririz: 4³ = (2²)³ = 2⁶ ve 8⁴ = (2³)⁴ = 2¹². Pay: 2⁵ · 2⁶ = 2¹¹. İşlem 2¹¹ / 2¹² = 2^(11−12) = 2^(−1) = 1/2 olur.

Öğrenci farklı tabanları (2, 4, 8) ortak tabana çevirmeden üsleri doğrudan işler ve 4³, 8⁴ ifadelerini yanlış açarak taban hatası yapar.

YanlışDoğru cevap: B — 4

Üssün üssünde üsler çarpılır: (2³)² = 2^(3·2) = 2⁶. Aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır: 2⁶ · 2⁻⁴ = 2^(6+(−4)) = 2² = 4.

Üssün üssünde üsler çarpılır (toplanmaz); aynı tabanlı çarpımda ise üsler toplanır. Negatif üssü çıkarma olarak işlememek gerekir.

YanlışDoğru cevap: B — 3

32 = 2^5 olduğundan 2^(x+3) = 2^5 eşitliğinden x + 3 = 5, yani x = 2 bulunur. Bu değeri yerine koyarsak 3^(x-1) = 3^(2-1) = 3^1 = 3 olur.

Öğrenci 32'yi 2^5 yerine 2^4 alarak x=1 bulur ve 3^0=1 (A) sonucuna ulaşır; ya da üsteki x-1 yerine x+1 kullanır.

YanlışDoğru cevap: E — 2⁸

Çarpımda aynı tabanlı üslerde üsler toplanır: 2³ · 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128. Böylece işlem 2⁷ + 2⁷ olur. Aynı iki değerin toplamı, o değerin 2 katıdır: 2⁷ + 2⁷ = 2·2⁷ = 2^(1+7) = 2⁸ = 256. Doğru yanıt E'dir.

Aynı tabanlı üslü sayılar ÇARPILIRKEN üsler toplanır (2³·2⁴=2⁷); TOPLANIRKEN üsler toplanmaz, ortak çarpan parantezine alınır (2⁷+2⁷=2·2⁷=2⁸). Öğrenci toplamada da üsleri toplayıp yanlış sonuç bulmaya eğilimlidir.

YanlışDoğru cevap: B — 3

32 = 2^5 olduğundan 2^(x+3)=2^5 → x+3=5 → x=2. Bu değeri yerine koyarsak 3^(x−1)=3^(2−1)=3^1=3. (Üsler eşitlenirken tabanlar eşit olduğu için üsler eşitlenir; x bulunduktan sonra ikinci ifadede yerine yazılır.)

x=2 bulunduktan sonra ikinci ifadeye yanlışlıkla x+1 ya da x=3 yazılırsa 9 bulunur; doğru üs x−1=1'dir, sonuç 3'tür.

YanlışDoğru cevap: B — 27

Aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır: 3⁵ × 3² = 3^(5+2) = 3⁷. Aynı tabanlı bölümde üsler çıkarılır: 3⁷ ÷ 3⁴ = 3^(7−4) = 3³ = 27.

Öğrenci çarpımda üsleri çarpıp (5×2=10) veya bölümde üsleri bölerek yanlış üs bulur; çarpımda üsler TOPLANIR, bölümde ÇIKARILIR.

YanlışDoğru cevap: C — 16

Üssün üssünde üsler çarpılır: (2⁴)³ = 2^(4×3) = 2¹². Çarpımda toplanır: 2¹² × 2⁻⁵ = 2^(12−5) = 2⁷. Bölümde çıkarılır: 2⁷ ÷ 2³ = 2^(7−3) = 2⁴ = 16.

(2⁴)³ ifadesinde üsleri toplayıp 2⁷ demek tipik hatadır; üssün üssünde üsler ÇARPILIR (2¹²).

YanlışDoğru cevap: C — −1/72

(−3)⁻² = 1/(−3)² = 1/9 (üs çift olduğu için pozitif). (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = 1/(−8) = −1/8. Ortak payda 72: 1/9 = 8/72, −1/8 = −9/72. Toplam: 8/72 − 9/72 = −1/72.

Öğrenci (−3)⁻² sonucunu negatif sanır; negatif tabanda üs ÇİFT ise sonuç POZİTİFTİR. Ayrıca negatif üsse rağmen işareti tabana yansıtmaya çalışmak hatalıdır.

YanlışDoğru cevap: B — 1/4

Önce negatif üs sayıyı tersine çevirir: 8^(−2/3) = 1/8^(2/3). Kesirli üste payda kökün derecesi, pay içteki üstür: 8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4. Dolayısıyla 8^(−2/3) = 1/4.

Negatif üssü işaret zannedip sonucu negatif (−4) yapmak yaygın hatadır; negatif üs SADECE terse çevirir, sonucu negatif yapmaz.

YanlışDoğru cevap: D — −5

Tabanları 2'ye çevir: 4 = 2², 8 = 2³. Sol taraf: (2²)^(x−1) = 2^(2x−2). Sağ taraf: (2³)^(x+1) = 2^(3x+3). Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir: 2x−2 = 3x+3 → −2−3 = 3x−2x → x = −5.

Üssün üssünde üsleri dağıtırken (2)(x−1)=2x−2 yerine 2x−1 gibi yalnızca ilk terimi çarpmak sık hatadır; üs parantezinin tamamı çarpılmalıdır.

YanlışDoğru cevap: C — 1,2 × 10³

Katsayılar çarpılır, 10'un üsleri toplanır: (6×2) × 10^(−3+5) = 12 × 10². Bilimsel gösterimde katsayı 1 ile 10 arasında olmalı: 12 = 1,2 × 10¹, dolayısıyla 12 × 10² = 1,2 × 10¹ × 10² = 1,2 × 10³.

12 × 10² ifadesini bilimsel gösterim sanmak hatadır; katsayı 1 ≤ a < 10 aralığında olmalı, 12 bu aralıkta değildir, üs bir artırılıp 1,2 × 10³ yazılır.

YanlışDoğru cevap: B — 6

Payı ortak paranteze al: 2^(n+3) = 2ⁿ×2³ = 8·2ⁿ, 2^(n+1) = 2ⁿ×2 = 2·2ⁿ. Fark: 2ⁿ(8 − 2) = 6·2ⁿ. Bölüm: 6·2ⁿ ÷ 2ⁿ = 6. (Sonuç n'den bağımsızdır.)

2^(n+3) ÷ 2ⁿ = 2³ = 8 ve 2^(n+1) ÷ 2ⁿ = 2 bulunup 8−2 yerine terimleri ayrı ayrı bölmeden farkı almak; doğru yol ortak paranteze alıp sadeleştirmektir.

YanlışDoğru cevap: C — 2

Tabanları 3'e çevir: 9ˣ = (3²)ˣ = 3^(2x), 27ˣ = (3³)ˣ = 3^(3x). Çarpımda üsler toplanır: 3^(2x) × 3^(3x) = 3^(5x). Denklem: 3^(5x) = 3¹⁰ → 5x = 10 → x = 2.

9 ve 27'yi ortak tabana çevirmeden çözmeye çalışmak veya 2x ile 3x'i çarpıp 6x² yazmak hatadır; aynı tabanlı çarpımda üsler TOPLANIR.

YanlışDoğru cevap: D — 0

2n her zaman çift sayıdır, çift üste (−1) pozitif olur: (−1)^(2n) = 1. 2n+1 her zaman tek sayıdır, tek üste (−1) negatif kalır: (−1)^(2n+1) = −1. Toplam: 1 + (−1) = 0.

Üsteki 2n ve 2n+1 ifadelerini n'in değerine göre değişken sanmak; 2n DAİMA çift, 2n+1 DAİMA tektir, sonuç n'den bağımsızdır.

YanlışDoğru cevap: A — B > A > C

Üsleri ortak 10'a indir: A = 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰, B = 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰, C = 6¹⁰. Üsler eşit (10) olduğundan tabanları karşılaştırmak yeter: 9 > 8 > 6, yani B > A > C.

En büyük üsse (30) sahip olan A'yı en büyük sanmak yaygın hatadır; farklı tabanlı sayıları karşılaştırmak için önce üsleri EŞİTLEMEK gerekir.

YanlışDoğru cevap: E — 8

Kök, kesirli üse çevrilir: ⁴√(16³) = 16^(3/4). 16 = 2⁴ yazılır: (2⁴)^(3/4) = 2^(4×3/4) = 2³ = 8.

⁴√(16³) ifadesini köke bölme (16³ ÷ 4) sanmak; kök işlemi kesirli ÜS demektir, 16^(3/4)'tür.

YanlışDoğru cevap: D — −5⁰ = 1

−5⁰ ifadesinde üs yalnızca 5'e aittir (parantez yok): −5⁰ = −(5⁰) = −(1) = −1, yani sonuç −1'dir; ifade '1' dediği için YANLIŞTIR. Diğerleri doğru: (−5)⁰ = 1, (−2)³ = −8, 2⁻¹ = 1/2, (1/3)⁻² = 3² = 9.

Parantezsiz −5⁰ ifadesinde eksinin de üsse dahil olduğunu sanıp sonucu +1 kabul etmek; üs önce sayıya uygulanır, eksi işareti dışarıda kalır (−1).

YanlışDoğru cevap: B — 3

En küçük üslü terimi paranteze al: 3^(x+1) = 3ˣ×3. İfade: 3ˣ(3 + 1) = 108 → 3ˣ × 4 = 108 → 3ˣ = 27. 27 = 3³ olduğundan x = 3.

3^(x+1) + 3ˣ ifadesini 3^(x+1+x) = 3^(2x+1) gibi üsleri toplayarak birleştirmek; TOPLAMDA üsler toplanmaz, ortak parantez alınır.

YanlışDoğru cevap: B — 3 × 10⁶

Katsayılar bölünür, 10'un üsleri çıkarılır: (9 ÷ 3) × 10^(8−2) = 3 × 10⁶.

Bölmede 10'un üslerini çıkarmak yerine toplamak (10¹⁰) tipik hatadır; aynı tabanlı BÖLÜMDE üsler ÇIKARILIR.

YanlışDoğru cevap: E — 50

8ˣ = (2³)ˣ = (2ˣ)³ = 5³ = 125. 2^(x−1) = 2ˣ ÷ 2¹ = 5/2. Bölme: 125 ÷ (5/2) = 125 × (2/5) = 250/5 = 50.

x'i tek tek çözmeye çalışmak (2ˣ=5'ten x tam sayı çıkmaz) yerine, verilen 2ˣ=5 değerini yerine koyup (2ˣ)³ = 5³ kurmak gerekir; bu görülmeyince soru çözülemez sanılır.