Çokgenler sorularının çözümü var mı?

Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?

Bir iç açısının ölçüsü (n − 2)·180/n derecedir.

Dış açılarının ölçüleri toplamı 360°'dir.

İç açılarının ölçüleri toplamı (n − 2)·180°'dir.

Bir köşesinden (n − 3) tane köşegen çizilebilir.

Toplam köşegen sayısı n(n − 3)/2'dir.

Matematik

KPSS Çokgenler — Çözümlü Sorular

Düzgün çokgen iç-dış açı, köşegen ve alan ilişkileri.

Bu konunun anlatımı da hazır: Çokgenler — Açılar, Köşegenler ve Kenar Sayısı Bulma

17 soru — hepsi çözümlü

Şıkka dokun; doğru cevabı, gerekçesini ve yanlış şıkkın tuzağını görürsün.

17 sorudan 0 tanesi cevaplandıSkor: 0/17

1.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısı, bir iç açısının üçte biri kadardır. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: C — 8
Düzgün çokgende bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir: iç + dış = 180°. Dış açı, iç açının üçte biri olduğuna göre iç = 3·dış. Yerine yazarsak 3·dış + dış = 180 → 4·dış = 180 → dış açı = 45°. Düzgün çokgende dış açıların toplamı 360° olduğundan kenar sayısı = 360 / 45 = 8’dir.
Öğrenci iç ve dış açının bütünler (toplamı 180°) olduğunu unutup dış açıyı doğrudan iç açının üçte biri diye yanlış değerlerle hesaplar.
2.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir iç açısının ölçüsünün 1/5'ine eşittir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: E — 12
Bir iç açı ile bir dış açı bütünlerdir: iç + dış = 180°. Dış açı, iç açının 1/5'i ise iç = 5·dış yazılır. Yerine koyunca 5·dış + dış = 180°, yani 6·dış = 180° ve dış açı = 30° olur. Düzgün çokgende dış açıların toplamı 360° olduğundan kenar sayısı 360 / 30 = 12'dir.
İç ve dış açının bütünler (toplamı 180°) olduğu göz ardı edilir; ayrıca dış açılar toplamının çokgenden bağımsız 360° olduğu unutulur.
3.
Düzgün bir çokgenin bir iç açısının ölçüsü 156° olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 15
Düzgün çokgende bir dış açı = 180 − iç açı = 180 − 156 = 24°. Kenar sayısı n = 360 / dış açı = 360 / 24 = 15. (Kontrol: (15−2)·180/15 = 2340/15 = 156°.)
İç açıyı doğrudan (n−2)·180 toplam formülüne koymak; oysa verilen tek bir iç açıdır, önce dış açı (180−iç açı) bulunup n = 360/dış açı kullanılmalıdır.
4.
Bir çokgenin iç açıları toplamı 1440° olduğuna göre, bu çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 35
İç açılar toplamı (n−2)·180 = 1440 → n−2 = 8 → n = 10. Köşegen sayısı = n(n−3)/2 = 10·7/2 = 70/2 = 35.
n bulunduktan sonra köşegen formülünde /2 yapmayı unutup 10·7 = 70 demek ya da n−3 = 7'yi doğrudan köşegen sayısı sanmak.
5.
Düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü 40° olduğuna göre, bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: D — 140
Bir dış açı ile bir iç açı bütünlerdir (toplamları 180°). İç açı = 180 − 40 = 140°. (İstenirse n = 360/40 = 9, ve (9−2)·180/9 = 1260/9 = 140° ile de doğrulanır.)
Dış açıyı iç açının tümleyeni (90 − 40 = 50) sanmak veya önce n = 9 bulup gereksiz yere (n−2)·180 = 1260 toplamını iç açı diye vermek.
6.
Bir çokgenin köşegen sayısı 54 olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 12
n(n−3)/2 = 54 → n(n−3) = 108. Ardışık farkı 3 olan iki çarpanı ararız: 12·9 = 108 olduğundan n = 12. (Kontrol: 12·9/2 = 108/2 = 54.)
n(n−3) = 108 denklemini n(n−3)/2 = 108 sanıp n(n−3) = 216 çözmeye çalışmak (yani 54'ü 2 ile çarpmayı atlamak), ya da 108'i çarpanlarına ayırırken farkı 3 olan ikiliyi bulamamak.
7.
Düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü, bir dış açının ölçüsünün 5 katıdır. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: E — 12
Aynı köşede iç açı + dış açı = 180°. İç açı = 5 × dış açı olduğundan 5·(dış) + (dış) = 180 → 6·(dış) = 180 → dış açı = 30°. Kenar sayısı n = 360/30 = 12.
İç + dış = 180 yerine iç = 5·dış'ı 180'e eşitleyip (5·dış = 180 → dış = 36) yanlış n = 10 bulmak; bütünlük denklemini kurmayı unutmak.
8.
Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 8'dir. Buna göre bu çokgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: B — 1620
Bir köşeden çıkan köşegen sayısı n − 3 = 8 → n = 11. İç açılar toplamı = (n−2)·180 = (11−2)·180 = 9·180 = 1620°.
Bir köşeden çıkan köşegeni n − 3 yerine n − 2 (=8, n=10) ya da n (=8) sanmak; ayrıca toplam formülünde n−2 yerine n kullanmak.
9.
Düzgün bir çokgenin kenar sayısı 2 artırıldığında bir dış açısının ölçüsü 30° azalmaktadır. Buna göre çokgenin başlangıçtaki kenar sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 4
Bir dış açı = 360/n. Koşul: 360/n − 360/(n+2) = 30. Paydaları eşitleyip düzenlersek 360(n+2) − 360n = 30·n·(n+2) → 360·2 = 30·n(n+2) → 720 = 30·n(n+2) → n(n+2) = 24. Farkı 2 olan iki çarpan 4·6 = 24 olduğundan n = 4. (Kontrol: 360/4 = 90°, 360/6 = 60°, fark = 30°.)
360/n − 360/(n+2) farkını 360/(2n+2) gibi yanlış sadeleştirmek ya da dış açının kenar sayısıyla ters orantılı olduğunu göz ardı edip azalmayı doğrusal varsaymak.
10.
Bir iç açısı 144° olan düzgün bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 35
Dış açı = 180 − 144 = 36°. Kenar sayısı n = 360/36 = 10. Köşegen sayısı = n(n−3)/2 = 10·7/2 = 35.
İç açı 144°'yi doğrudan köşegen formülüne sokmaya çalışmak ya da n=10 bulduktan sonra /2 yapmayı unutup 70 demek.
11.
Bir düzgün çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katından 5 fazladır. Buna göre bu çokgenin bir dış açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: A — 36
Köşegen = 3·kenar + 5: n(n−3)/2 = 3n + 5 → n(n−3) = 6n + 10 → n² − 3n = 6n + 10 → n² − 9n − 10 = 0 → (n − 10)(n + 1) = 0 → n = 10. Dış açı = 360/n = 360/10 = 36°. (Kontrol: 10·7/2 = 35 = 3·10 + 5.)
n(n−3)/2 = 3n+5 denkleminde /2'yi karşı tarafa geçirmeyi (n(n−3) = 6n+10) unutup n(n−3) = 3n+5 çözmek; ikinci dereceden denklemi kurarken işaret hatası yapmak.
12.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?
YanlışDoğru cevap: E — Bir iç açısının ölçüsü (n − 2)·180/n derecedir.
A, B, C, D ifadeleri düzgün olsun olmasın her dışbükey çokgende geçerlidir. Ancak 'bir iç açı = (n−2)·180/n' formülü YALNIZCA düzgün (tüm açıları eşit) çokgende geçerlidir; herhangi bir dışbükey çokgende açılar eşit olmayabileceğinden E her çokgen için doğru değildir.
Tek açı formülünün (iç açı = toplam/n) her çokgende geçerli olduğunu sanmak; oysa açıların eşit paylaşımı yalnız DÜZGÜN çokgende doğrudur.
13.
Düzgün bir A çokgeninin kenar sayısı, düzgün bir B çokgeninin kenar sayısının 2 katıdır. A'nın bir dış açısı, B'nin bir dış açısından 30° küçük olduğuna göre, B çokgeni kaç kenarlıdır?
YanlışDoğru cevap: B — 6
B'nin kenar sayısı k olsun; A'nınki 2k. Dış açılar: B için 360/k, A için 360/(2k) = 180/k. Koşul: 360/k − 180/k = 30 → 180/k = 30 → k = 6. (Kontrol: B'nin dış açısı 360/6 = 60°, A'nın 360/12 = 30°, fark 30°.)
A'nın kenarı 2 kat olunca dış açısının da 2 kat OLDUĞUNU sanmak; oysa dış açı kenar sayısıyla ters orantılıdır, kenar 2 katına çıkınca dış açı YARIYA iner.
14.
Bir düzgün çokgenin iç açıları toplamı, dış açıları toplamının 6 katıdır. Buna göre bu çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 11
Dış açılar toplamı her zaman 360°. İç açılar toplamı = 6·360 = 2160°. (n−2)·180 = 2160 → n−2 = 12 → n = 14. Bir köşeden çizilen köşegen sayısı = n − 3 = 14 − 3 = 11.
Dış açılar toplamını 360/n (bir dış açı) sanıp yanlış denklem kurmak; ayrıca son adımda toplam köşegen n(n−3)/2 ile bir köşeden çıkan (n−3) köşegeni karıştırmak.
15.
Kenar sayısı birer artan düzgün çokgenler dizisinde (üçgen, kare, beşgen, ...) kenar sayısı arttıkça aşağıdaki niceliklerden hangisi AZALIR?
YanlışDoğru cevap: C — Bir dış açının ölçüsü
Bir dış açı = 360/n; n büyüdükçe 360/n KÜÇÜLÜR, yani azalır. Diğerleri: iç açılar toplamı (n−2)·180 artar; köşegen sayısı n(n−3)/2 artar; bir iç açı (n−2)·180/n artar (180'e yaklaşır); bir köşeden çıkan n−3 artar. Yalnız dış açı azalır.
Bir iç açının da azaldığını sanmak; oysa n büyüdükçe iç açı 180°'ye yaklaşarak ARTAR, azalan yalnızca dış açıdır (360/n).
16.
Düzgün bir sekizgenin (n = 8) bir iç açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: A — 135
Düzgün sekizgende dış açı = 360/8 = 45°. Bir iç açı = 180 − 45 = 135°. (Doğrulama: (8−2)·180/8 = 1080/8 = 135°.)
İç açılar toplamı (8−2)·180 = 1080°'yi bir iç açı sanmak, yani n'e bölmeyi unutmak.
17.
Bir çokgenin toplam köşegen sayısını veren bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? (n: kenar sayısı)
YanlışDoğru cevap: E — n(n − 3)/2
Her köşeden komşu olmayan (n−3) köşeye köşegen çizilir; n köşe için n(n−3) elde edilir, ama her köşegen iki köşede sayıldığından 2'ye bölünür: toplam köşegen = n(n−3)/2. (B seçeneği köşe çiftlerinin toplam sayısıdır, kenarları da içerir.)
n(n−1)/2 (tüm köşe çiftleri) formülünü köşegen sayısı sanmak; bu ifade kenarları da saydığından fazladır, ayrıca n−3 tek bir köşeden çıkan köşegen sayısıdır.

Sık sorulanlar

KPSS Çokgenler konusundan ne çıkıyor?: Düzgün çokgen iç-dış açı, köşegen ve alan ilişkileri.
Çokgenler sorularının çözümü var mı?: Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

17 soru — hepsi çözümlü

Bir düzgün çokgenin bir dış açısı, bir iç açısının üçte biri kadardır. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?

Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, bir iç açısının ölçüsünün 1/5'ine eşittir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

Düzgün bir çokgenin bir iç açısının ölçüsü 156° olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Bir çokgenin iç açıları toplamı 1440° olduğuna göre, bu çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

Düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü 40° olduğuna göre, bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?

Bir çokgenin köşegen sayısı 54 olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Düzgün bir çokgende bir iç açının ölçüsü, bir dış açının ölçüsünün 5 katıdır. Buna göre bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı 8'dir. Buna göre bu çokgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

Düzgün bir çokgenin kenar sayısı 2 artırıldığında bir dış açısının ölçüsü 30° azalmaktadır. Buna göre çokgenin başlangıçtaki kenar sayısı kaçtır?

Bir iç açısı 144° olan düzgün bir çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

Bir düzgün çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katından 5 fazladır. Buna göre bu çokgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Aşağıdaki ifadelerden hangisi HER dışbükey çokgen için DOĞRU DEĞİLDİR?

Düzgün bir A çokgeninin kenar sayısı, düzgün bir B çokgeninin kenar sayısının 2 katıdır. A'nın bir dış açısı, B'nin bir dış açısından 30° küçük olduğuna göre, B çokgeni kaç kenarlıdır?

Bir düzgün çokgenin iç açıları toplamı, dış açıları toplamının 6 katıdır. Buna göre bu çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı kaçtır?

Kenar sayısı birer artan düzgün çokgenler dizisinde (üçgen, kare, beşgen, ...) kenar sayısı arttıkça aşağıdaki niceliklerden hangisi AZALIR?

Düzgün bir sekizgenin (n = 8) bir iç açısı kaç derecedir?

Bir çokgenin toplam köşegen sayısını veren bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? (n: kenar sayısı)

Sık sorulanlar

Matematik — diğer konular