Olasılık sorularının çözümü var mı?

Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

Matematik

KPSS Olasılık — Çözümlü Sorular

Örnek uzay, olay olasılığı ve sayma temelli olasılık.

Bu konunun anlatımı da hazır: Olasılık — Örnek Uzay, Sayma ve Bileşik Olaylar

20 soru — hepsi çözümlü

Şıkka dokun; doğru cevabı, gerekçesini ve yanlış şıkkın tuzağını görürsün.

20 sorudan 0 tanesi cevaplandıSkor: 0/20

1.
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Torbadan geri koymadan art arda iki top çekiliyor. İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 1/3
İlk topun mavi olma olasılığı 6/10'dur. Geri koymadan çekildiği için ikinci çekimde 5 mavi ve toplam 9 top kalır; ikinci topun mavi olma olasılığı 5/9'dur. İki bağımlı olayın olasılığı çarpılır: (6/10) · (5/9) = 30/90 = 1/3.
Öğrenci geri koymalı gibi işlem yapıp (6/10)·(6/10) = 9/25 hesaplar; geri koymadan çekimde ikinci olasılığın paydası ve payının değiştiğini atlar.
2.
Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının çift OLDUĞU bilindiğine göre, bu sayının 3’ten büyük olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 2/3
Koşullu olasılıktır. Çift sayı geldiği bilindiğinden örnek uzay {2, 4, 6}, yani 3 durumdur. Bunlardan 3’ten büyük olanlar 4 ve 6’dır, yani 2 durum. İstenen olasılık 2/3 olur.
Koşullu olasılıkta örnek uzay verilen koşulla (çiftler: 3 eleman) daralır; toplam 6 üzerinden hesaplamak (ör. 1/2) yanlıştır.
3.
İçinde 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele aynı anda 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 2/15
Torbada toplam 10 bilye vardır. 10 bilyeden 2’sini seçmenin yol sayısı C(10,2) = (10·9)/2 = 45’tir. İki bilyenin de kırmızı olması için 4 kırmızıdan 2’si seçilir: C(4,2) = (4·3)/2 = 6. Olasılık = istenen ÷ tüm = 6/45 = 2/15’tir.
Öğrenci iadeli çekim varmış gibi (4/10)·(4/10)=4/25 alır; oysa iadesiz çekimde ikinci seçimde hem toplam hem kırmızı sayısı azalır.
4.
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele arka arkaya, geri koymadan 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de aynı renk olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 7/15
Toplam 10 bilye. İki kırmızı: (4/10)×(3/9)=12/90. İki mavi: (6/10)×(5/9)=30/90. Aynı renk olma olasılığı bu iki durumun toplamıdır: 12/90+30/90=42/90=7/15. Doğru yanıt 7/15.
Öğrenci geri koymamayı unutup ikinci çekimde paydayı 10 tutar veya yalnız tek durumu hesaplar; doğru yöntemde ikinci çekimde payda 9 olur ve iki renk toplanır, sonuç 7/15'tir.
5.
İçinde 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunan bir torbadan, geri konulmamak üzere ardı ardına 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 5/14
Toplam 8 bilye vardır. İlk çekilişte mavi olma olasılığı 5/8'dir. Bilye geri konulmadığı için ikinci çekilişte 7 bilyeden 4'ü mavidir: 4/7. İki olayın birlikte olma olasılığı: (5/8)·(4/7) = 20/56 = 5/14. (İadeli çekiliş varsayılsaydı (5/8)² = 25/64 olurdu; buradaki tuzak seçenek budur.)
İadesiz çekilişte ikinci çekilişin paydasını ve pay sayısını güncellememek; olayı iadeli sayıp (5/8)² almak.
6.
Hilesiz bir zar bir kez atılıyor. Üste gelen sayının hem asal hem de tek olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 1/3
Zarda sonuçlar {1,2,3,4,5,6}, s(E)=6. Asal sayılar: 2, 3, 5. Bunlardan tek olanlar: 3 ve 5 (2 asaldır ama çifttir, elenir). İstenen durum sayısı 2 olduğundan P = 2/6 = 1/3.
2 sayısının asal olduğunu doğru bilse de 'tek' koşulunu unutup 2'yi de sayan öğrenci 3/6=1/2 (B) bulur.
7.
İçinde 5 kırmızı ve 3 mavi bilye bulunan bir torbadan aynı anda 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 13/28
Toplam 8 bilyeden 2 çekme: C(8,2) = (8×7)/2 = 28. İki kırmızı: C(5,2) = (5×4)/2 = 10. İki mavi: C(3,2) = (3×2)/2 = 3. Aynı renk = 10 + 3 = 13. P = 13/28.
Yalnızca iki kırmızıyı sayıp mavi durumunu (C(3,2)=3) eklemeyi unutan öğrenci 10/28=5/14 (B) bulur.
8.
Bir madenî para art arda 4 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 15/16
Her atışta s(E)=2 olduğundan 4 atış için toplam durum 2⁴=16. 'En az bir tura' olayının tümleyeni 'hiç tura gelmeme', yani 4 atışın da yazı olması: tek durum, olasılığı 1/16. P(en az bir tura) = 1 − 1/16 = 15/16.
Tümleyen (hiç tura yok) olasılığı olan 1/16'yı doğrudan cevap sanan öğrenci A'yı işaretler; 1'den çıkarmayı unutur.
9.
İki hilesiz zar aynı anda atılıyor. Üste gelen sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 3/4
s(E)=36. Çarpımın TEK olması için iki zarın da tek gelmesi gerekir. Her zarda tek sayı 3 tane {1,3,5} olduğundan ikisinin de tek gelmesi 3×3=9 durum. Çarpım tek olasılığı 9/36 = 1/4. Çift olma bunun tümleyenidir: 1 − 1/4 = 3/4.
Çarpımın çift olması için 'en az birinin çift gelmesi' gerektiğini görmeyip yalnızca ikisinin de çift geldiği 9 durumu sayan öğrenci 9/36=1/4 (E) bulur.
10.
4 kadın ve 5 erkekten oluşan bir gruptan 3 kişilik bir ekip seçilecektir. Seçilen ekipte en az bir kadın bulunma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: E — 37/42
Toplam 9 kişiden 3 seçme: C(9,3) = (9×8×7)/(3×2×1) = 504/6 = 84. 'En az bir kadın' olayının tümleyeni 'hiç kadın yok', yani 3'ünün de erkek olması: C(5,3) = (5×4×3)/6 = 10. P(hiç kadın yok) = 10/84 = 5/42. P(en az bir kadın) = 1 − 5/42 = 37/42.
Tümleyen olasılığı olan 5/42'yi (A) doğrudan cevap sanan öğrenci 1'den çıkarmayı unutur; ya da en az bir kadını tam 1, tam 2, tam 3 diye tek tek sayarken bir durumu atlar.
11.
1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 kart arasından rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın numarasının 3 veya 4 ile tam bölünme olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 1/2
s(E)=20. 3'ün katları: 3,6,9,12,15,18 → 6 tane. 4'ün katları: 4,8,12,16,20 → 5 tane. Kesişim (hem 3 hem 4'e, yani 12'ye bölünen): 12 → 1 tane. 'Veya' için istenen sayı = 6 + 5 − 1 = 10. P = 10/20 = 1/2.
Kesişimi (12) çıkarmayı unutan öğrenci 6+5=11 sayar ve 11/20 (C) bulur; doğru cevap kesişim çıkarılınca 1/2'dir.
12.
Bir torbada 3 kırmızı, 4 sarı ve 5 yeşil top vardır. Torbadan geri konulmamak üzere art arda 2 top çekiliyor. Birinci topun kırmızı, ikinci topun sarı olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 1/11
Toplam 12 top. İlk çekişte kırmızı: 3/12 = 1/4. Geri konulmadığı için torbada 11 top kalır; ikinci çekişte sarı (4 sarı hâlâ duruyor): 4/11. Sıralı çekim çarpılır: (1/4)×(4/11) = 4/44 = 1/11.
Geri konulmadığını gözden kaçırıp ikinci çekişte paydayı 12 tutan öğrenci (3/12)×(4/12)=1/12 (A) bulur.
13.
A, B, C, D, E harflerinin tümü kullanılarak bir sıra oluşturuluyor. A ile B harflerinin yan yana (bitişik) olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 2/5
5 harfin tüm dizilişi: 5! = 120 (örnek uzay). A ve B'yi tek blok sayarsak 4 nesnenin dizilişi 4! = 24; blok içinde AB ve BA olmak üzere 2 iç sıralama → 24×2 = 48 uygun durum. P = 48/120 = 2/5.
Blok içi 2 sıralamayı (AB, BA) unutan öğrenci 24/120=1/5 (A) bulur.
14.
İki hilesiz zar atıldığında üste gelen sayıların toplamının 5 veya 9 olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 2/9
s(E)=36. Toplam 5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4 durum. Toplam 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4 durum. Bu iki olay ayrık (aynı anda olamaz), toplam istenen = 4+4 = 8. P = 8/36 = 2/9.
İki zarın sırasını dikkate almayıp (1,4) ile (4,1)'i tek durum sayan öğrenci istenen durumu eksik sayar (ör. 4/36).
15.
Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı İngilizce, %50'si Almanca kursuna gitmektedir. Öğrencilerin %20'si her iki kursa da gitmektedir. Rastgele seçilen bir öğrencinin bu kurslardan en az birine gitme olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 0,90
'En az biri' olayı 'veya' demektir: P(İ veya A) = P(İ) + P(A) − P(İ ve A) = 0,60 + 0,50 − 0,20 = 0,90. Kesişim çıkarılmazsa 1,10 gibi 1'i aşan (imkânsız) bir değer çıkar; bu da kesişimi düşme gerektiğini doğrular.
Kesişimi (0,20) çıkarmayı unutan öğrenci 0,60+0,50=1,10 (A) bulur; olasılığın 1'i aşamayacağını fark etmez.
16.
Bir kutuda 6 sağlam ve 2 arızalı ampul vardır. Kutudan aynı anda 3 ampul çekiliyor. Çekilenlerden en az birinin arızalı olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: E — 9/14
Toplam 8 ampulden 3 çekme: C(8,3) = (8×7×6)/6 = 56. 'En az bir arızalı'nın tümleyeni 'hiç arızalı yok', yani 3'ünün de sağlam olması: C(6,3) = (6×5×4)/6 = 20. P(hiç arızalı yok) = 20/56 = 5/14. P(en az bir arızalı) = 1 − 5/14 = 9/14.
Tümleyen olasılığı olan 5/14'ü (B) doğrudan cevap sanan öğrenci 1'den çıkarmayı atlar.
17.
0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak (rakamlar tekrarsız) üç basamaklı sayılar yazılıyor. Rastgele yazılan böyle bir sayının çift olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 5/8
Örnek uzay (tekrarsız 3 basamaklı sayılar): Yüzler basamağı 0 olamaz → 4 seçenek; onlar için kalan 4, birler için kalan 3 → 4×4×3 = 48. Çift olanlar birler basamağına göre iki durumda sayılır: (i) birler=0 ise yüzler 4, onlar 3 → 12; (ii) birler∈{2,4} (2 seçenek), yüzler 0 olamaz ve birler kullanıldı → yüzler 3, onlar 3 → 2×3×3 = 18. Toplam çift = 12 + 18 = 30. P = 30/48 = 5/8.
Birler basamağının 0 olması durumunu ayrı ele almayıp yüzler basamağı kısıtını her çift rakamda aynı sayan öğrenci yanlış sayar.
18.
Bir torbada 7 top vardır: 3'ü kırmızı, 4'ü beyazdır. Bu topların tamamı rastgele bir sıraya diziliyor. Baştaki iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 1/7
İlk sıraya kırmızı gelme olasılığı 3/7. İlk top kırmızıysa 6 top kalır ve 2 kırmızı kalır; ikinci sıraya kırmızı gelme 2/6 = 1/3. Sıralı olduğundan çarpılır: (3/7)×(1/3) = 3/21 = 1/7.
İkinci top için paydayı ve kırmızı sayısını azaltmayı unutan öğrenci (3/7)×(3/7)=9/49 (B) bulur.
19.
İki hilesiz zar atılıyor. Aşağıdaki olaylardan hangisinin gerçekleşme olasılığı diğerlerinden FARKLIDIR (eşit değildir)?
YanlışDoğru cevap: E — Zarların toplamının 4 olması
s(E)=36. Toplam 5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4 durum. Toplam 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4 durum. Çarpım 12: (2,6),(6,2),(3,4),(4,3) → 4 durum. Çarpım 6: (1,6),(6,1),(2,3),(3,2) → 4 durum. Toplam 4: (1,3),(2,2),(3,1) → yalnızca 3 durum. A, B, C, D'nin hepsi 4/36 iken E yalnızca 3/36'dır; bu yüzden E farklıdır.
Toplam 4'ün de diğerleri gibi 4 durumu olduğunu sanan öğrenci (2,2)'nin tek bir çift olduğunu (simetrik eşi yok) gözden kaçırıp E'yi diğerlerine eşit görür.
20.
Bir sınıfta 5 kız ve 4 erkek öğrenci vardır. Bu öğrenciler arasından 4 kişilik bir ekip seçiliyor. Seçilen ekipte kız ve erkek sayısının eşit (2 kız, 2 erkek) olma olasılığı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 10/21
Toplam 9 kişiden 4 seçme: C(9,4) = (9×8×7×6)/(4×3×2×1) = 3024/24 = 126. 2 kız seçimi: C(5,2) = 10. 2 erkek seçimi: C(4,2) = 6. Bunlar bağımsız seçildiğinden uygun durum = 10×6 = 60. P = 60/126 = 10/21.
Kız ve erkek kombinasyonlarını çarpmak yerine toplayan (10+6=16) öğrenci 16/126 gibi yanlış bir oran bulur.

Sık sorulanlar

KPSS Olasılık konusundan ne çıkıyor?: Örnek uzay, olay olasılığı ve sayma temelli olasılık.
Olasılık sorularının çözümü var mı?: Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

20 soru — hepsi çözümlü

Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Torbadan geri koymadan art arda iki top çekiliyor. İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?

Hilesiz bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının çift OLDUĞU bilindiğine göre, bu sayının 3’ten büyük olma olasılığı kaçtır?

İçinde 4 kırmızı ve 6 mavi bilye bulunan bir torbadan rastgele aynı anda 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele arka arkaya, geri koymadan 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de aynı renk olma olasılığı kaçtır?

İçinde 3 kırmızı ve 5 mavi bilye bulunan bir torbadan, geri konulmamak üzere ardı ardına 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı kaçtır?

Hilesiz bir zar bir kez atılıyor. Üste gelen sayının hem asal hem de tek olma olasılığı kaçtır?

İçinde 5 kırmızı ve 3 mavi bilye bulunan bir torbadan aynı anda 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin de aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Bir madenî para art arda 4 kez atılıyor. En az bir kez tura gelme olasılığı kaçtır?

İki hilesiz zar aynı anda atılıyor. Üste gelen sayıların çarpımının çift olma olasılığı kaçtır?

4 kadın ve 5 erkekten oluşan bir gruptan 3 kişilik bir ekip seçilecektir. Seçilen ekipte en az bir kadın bulunma olasılığı kaçtır?

1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 kart arasından rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın numarasının 3 veya 4 ile tam bölünme olasılığı kaçtır?

Bir torbada 3 kırmızı, 4 sarı ve 5 yeşil top vardır. Torbadan geri konulmamak üzere art arda 2 top çekiliyor. Birinci topun kırmızı, ikinci topun sarı olma olasılığı kaçtır?

A, B, C, D, E harflerinin tümü kullanılarak bir sıra oluşturuluyor. A ile B harflerinin yan yana (bitişik) olma olasılığı kaçtır?

İki hilesiz zar atıldığında üste gelen sayıların toplamının 5 veya 9 olma olasılığı kaçtır?

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı İngilizce, %50'si Almanca kursuna gitmektedir. Öğrencilerin %20'si her iki kursa da gitmektedir. Rastgele seçilen bir öğrencinin bu kurslardan en az birine gitme olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 6 sağlam ve 2 arızalı ampul vardır. Kutudan aynı anda 3 ampul çekiliyor. Çekilenlerden en az birinin arızalı olma olasılığı kaçtır?

0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak (rakamlar tekrarsız) üç basamaklı sayılar yazılıyor. Rastgele yazılan böyle bir sayının çift olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 7 top vardır: 3'ü kırmızı, 4'ü beyazdır. Bu topların tamamı rastgele bir sıraya diziliyor. Baştaki iki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

İki hilesiz zar atılıyor. Aşağıdaki olaylardan hangisinin gerçekleşme olasılığı diğerlerinden FARKLIDIR (eşit değildir)?

Bir sınıfta 5 kız ve 4 erkek öğrenci vardır. Bu öğrenciler arasından 4 kişilik bir ekip seçiliyor. Seçilen ekipte kız ve erkek sayısının eşit (2 kız, 2 erkek) olma olasılığı kaçtır?

Sık sorulanlar

Matematik — diğer konular