Matematik
KPSS Köklü Sayılar — Çözümlü Sorular
Kök içi sadeleştirme, paydayı rasyonelleştirme ve işlemler.
Bu konunun anlatımı da hazır: Köklü Sayılar — Sadeleştirme, Rasyonelleştirme ve Kökle İşlemler
19 soru — hepsi çözümlü
Şıkka dokun; doğru cevabı, gerekçesini ve yanlış şıkkın tuzağını görürsün.
- 1.
( √75 + √12 ) / √3 işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 7
Önce kökleri sadeleştiririz: √75 = √(25·3) = 5√3 ve √12 = √(4·3) = 2√3. Pay: 5√3 + 2√3 = 7√3. İşlem (7√3) / √3 = 7 · (√3/√3) = 7 · 1 = 7 olur.
Öğrenci payı sadeleştirmeden böler ya da √3'ü paydan atarken 7√3/√3 = 7√3 gibi kök sadeleşmesini (√3/√3 = 1) atlar.
- 2.
√12 · √3 − √50 / √2 işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 1
İlk çarpım: √12·√3 = √36 = 6. Bölüm: √50/√2 = √(50/2) = √25 = 5. Çıkarma: 6 − 5 = 1. Sonuç 1'dir.
Kök içi çarpma/bölme kuralları ayrı ayrı uygulanmaz; 6 ve 5 bulunduktan sonra çıkarma yerine toplama yapılıp 11 ya da işaret hatasıyla −5 seçilebilir. Doğru sonuç 1'dir.
- 3.
√80 + √20 − √45 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: D — 3√5
Kökler sadeleştirilir: √80 = √(16·5) = 4√5; √20 = √(4·5) = 2√5; √45 = √(9·5) = 3√5. İşlem: 4√5 + 2√5 − 3√5 = (4+2−3)√5 = 3√5.
Öğrenci kök içindeki sayıları doğrudan toplayıp çıkararak (80+20−45=55) √55 gibi yanlış bir sonuca ulaşır; oysa köklü ifadeler sadeleştirilip katsayılar işlem görür.
- 4.
√75 − √27 + √12 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: C — 4√3
Her kök sadeleştirilir: √75 = √(25·3) = 5√3; √27 = √(9·3) = 3√3; √12 = √(4·3) = 2√3. İşlem: 5√3 − 3√3 + 2√3 = (5 − 3 + 2)√3 = 4√3.
Kök içleri farklıymış gibi ayrı bırakmak ya da tam kare çarpanı yanlış ayırıp katsayıları hatalı toplamak.
- 5.
√50 + √18 − √8 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: C — 6√2
Her terim sadeleştirilir: √50 = √(25·2) = 5√2, √18 = √(9·2) = 3√2, √8 = √(4·2) = 2√2. Benzer terimler toplanır: 5√2 + 3√2 − 2√2 = (5 + 3 − 2)√2 = 6√2.
Öğrenci köklü terimleri sadeleştirmeden √50 + √18 − √8 = √60 gibi kök içlerini toplayıp çıkarabilir; oysa köklü toplamada önce sadeleştirip benzer terimleri birleştirmek gerekir.
- 6.
6/(√5 − √3) ifadesi paydası rasyonelleştirildiğinde aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
YanlışDoğru cevap: B — 3(√5 + √3)
Payda √5 − √3'ün eşleniği √5 + √3 ile hem pay hem payda çarpılır: 6(√5 + √3) / ((√5)² − (√3)²) = 6(√5 + √3) / (5 − 3) = 6(√5 + √3)/2 = 3(√5 + √3).
Öğrenci paydadaki 2 ile sadeleştirmeyi unutup 6(√5 + √3) bırakabilir ya da eşleniğin işaretini yanlış seçip √5 − √3 kullanabilir.
- 7.
a = 2√3, b = 3√2, c = √13 sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
YanlışDoğru cevap: E — a < c < b
Sayılar tek kök altına alınır: a = 2√3 = √(4·3) = √12, b = 3√2 = √(9·2) = √18, c = √13 = √13. Kök içleri karşılaştırılır: 12 < 13 < 18, dolayısıyla √12 < √13 < √18, yani a < c < b.
Öğrenci katsayıları göz ardı edip yalnızca kök içlerine (3, 2, 13) bakarak yanlış sıralayabilir; her sayı tek kök altına alınmadan karşılaştırma yapılamaz.
- 8.
x = √(6 + √(6 + √(6 + ...))) biçiminde sonsuza kadar giden iç içe kök ifadesinin değeri kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 3
İfade kendini tekrar ettiğinden x = √(6 + x) yazılır. Her iki tarafın karesi alınır: x² = 6 + x ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 veya x = −2. Kök ifadesi negatif olamayacağından x = 3.
Öğrenci ikinci dereceden denklemin negatif kökü olan −2'yi de kabul edebilir; oysa karekök ifadesi negatif olamaz, bu yüzden yalnızca x = 3 geçerlidir.
- 9.
√12 × √27 işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — 18
√a × √b = √(ab) kuralıyla √12 × √27 = √(12·27) = √324. 324 = 18² olduğundan √324 = 18. Alternatif olarak √12 = 2√3, √27 = 3√3; çarpım 2√3 × 3√3 = 6·(√3)² = 6·3 = 18.
Öğrenci √12 × √27 = √(12+27) = √39 gibi kök içlerini toplayabilir; oysa çarpımda kök içleri çarpılır (√12·√27 = √324).
- 10.
a negatif bir reel sayı olduğuna göre, √(a²) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
YanlışDoğru cevap: D — −a
Her reel sayı için √(a²) = |a|'dır. a < 0 verildiğinden mutlak değer |a| = −a olur (çünkü a negatifken −a pozitiftir). Örneğin a = −5 ise √((−5)²) = √25 = 5 = −(−5). Dolayısıyla √(a²) = −a.
Öğrenci √(a²) = a olduğunu düşünüp negatif bir sonuç üretebilir; oysa karekök daima negatif olmayan değeri verir, bu yüzden a < 0 iken √(a²) = |a| = −a olur.
- 11.
(√7 + √3)(√7 − √3) + (√5)² işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 9
İlk çarpım kare farkıdır: (√7 + √3)(√7 − √3) = (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4. İkinci terim (√5)² = 5. Toplam: 4 + 5 = 9.
Öğrenci (√7 + √3)(√7 − √3) çarpımını dağıtırken çapraz terimleri (√21) yanlışlıkla bırakabilir; oysa (x+y)(x−y) = x² − y² olduğundan çapraz terimler sadeleşir.
- 12.
2√45 − 3√20 + √5 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: A — √5
√45 = √(9·5) = 3√5, √20 = √(4·5) = 2√5. Yerine yazılır: 2·3√5 − 3·2√5 + √5 = 6√5 − 6√5 + √5 = √5.
Öğrenci katsayı çarpımlarını (2·3 ve 3·2) hesaplarken 6√5 − 6√5 = 0'ı bulup son terim √5'i eklemeyi unutabilir; sonuç 0 değil √5'tir.
- 13.
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi YANLIŞTIR?
YanlışDoğru cevap: E — √2 + √8 = √10
E seçeneği yanlıştır: √8 = 2√2 olduğundan √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2 = √18'dir, √10 değil. Kök toplamda dağılmaz. Diğerleri doğrudur: √(9·16) = 3·4 = 12; √48 = √(16·3) = 4√3; 5√2 = √(25·2) = √50; √((−7)²) = √49 = 7 = |−7|.
Öğrenci √a + √b = √(a+b) sanarak √2 + √8 = √10 yazabilir; oysa köklü toplamda kök içleri toplanamaz, terimler sadeleştirilip benzerse birleştirilir.
- 14.
√3 / (√3 + 1) ifadesi paydası rasyonelleştirildiğinde aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
YanlışDoğru cevap: A — (3 − √3)/2
Payda √3 + 1'in eşleniği √3 − 1 ile pay ve payda çarpılır: [√3·(√3 − 1)] / [(√3 + 1)(√3 − 1)] = (3 − √3) / ((√3)² − 1²) = (3 − √3)/(3 − 1) = (3 − √3)/2.
Öğrenci payda çarpımını (√3+1)(√3−1) = 3 − 1 = 2 yerine yanlış hesaplayabilir ya da payda √3·√3 = 3 yerine √3 gibi hata yapabilir.
- 15.
√(√256) işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 4
İç içe kökte içteki kök önce çözülür: önce içteki √256 = 16 (çünkü 16² = 256). Sonra dıştaki √16 = 4 (çünkü 4² = 16). Dolayısıyla √(√256) = 4.
Öğrenci √256 = 16'yı bulup dıştaki kökü uygulamayı unutarak 16'da kalabilir ya da √256'yı yanlış hesaplayabilir; iki kök de sırayla uygulanmalıdır.
- 16.
x = √8, y = 2, z = ³√20 sayıları veriliyor. Bu sayılarla ilgili aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi doğrudur? (√8 ≈ 2,83 ve ³√20 ≈ 2,71 alınız.)
YanlışDoğru cevap: C — y < z < x
Değerler: y = 2, z = ³√20 ≈ 2,71 (çünkü 2,71³ ≈ 20), x = √8 ≈ 2,83 (çünkü 2,83² ≈ 8). Küçükten büyüğe: 2 < 2,71 < 2,83, yani y < z < x.
Öğrenci farklı dereceli kökleri (karekök ve küpkök) doğrudan kök içlerine (8 ve 20) bakarak sıralayabilir; oysa derece farklı olduğundan yaklaşık değerler veya ortak dereceye getirme gerekir.
- 17.
√75 ÷ √3 işleminin sonucu kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 5
√a ÷ √b = √(a/b) kuralıyla √75 ÷ √3 = √(75/3) = √25 = 5.
Öğrenci √75 ÷ √3 = √(75−3) = √72 gibi kök içlerini çıkarabilir; oysa bölmede kök içleri bölünür (75/3 = 25).
- 18.
a = √2 + 1 ve b = √2 − 1 olduğuna göre, a/b + b/a ifadesinin değeri kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — 6
a/b + b/a = (a² + b²)/(a·b). Önce a·b = (√2 + 1)(√2 − 1) = (√2)² − 1² = 2 − 1 = 1. a² = (√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2; b² = (√2 − 1)² = 2 − 2√2 + 1 = 3 − 2√2. Toplam a² + b² = 6. Böylece (a² + b²)/(a·b) = 6/1 = 6.
Öğrenci a² + b² hesaplarken 2√2 ve −2√2 terimlerinin sadeleştiğini fark etmeyebilir ya da a·b çarpımını yanlış bulup paydayı 1 yerine başka bir değer alabilir.
- 19.
3√2 sayısı tek bir kök altına (a√b = √(a²·b) biçiminde) alındığında aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
YanlışDoğru cevap: E — √18
Katsayı kök içine girerken karesi alınarak girer: a√b = √(a²·b). Burada a = 3, b = 2 olduğundan 3√2 = √(3²·2) = √(9·2) = √18.
Öğrenci katsayıyı kök içine karesini almadan sokarak 3√2 = √(3·2) = √6 yazabilir; oysa dışarıdaki katsayı içeri girerken karesi (3² = 9) alınır.
Sık sorulanlar
- KPSS Köklü Sayılar konusundan ne çıkıyor?
- Kök içi sadeleştirme, paydayı rasyonelleştirme ve işlemler.
- Köklü Sayılar sorularının çözümü var mı?
- Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.