KPSS Basit Eşitsizlikler — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: B — 5

Eşitsizliğin her tarafına 5 ekleriz: −3 + 5 < 2x ≤ 7 + 5 → 2 < 2x ≤ 12. Sonra 2'ye böleriz: 1 < x ≤ 6. Bu aralıktaki tam sayılar 2, 3, 4, 5, 6'dır (1 dâhil değil çünkü sıkı eşitsizlik; 6 dâhildir çünkü ≤). Toplam 5 tam sayı vardır; doğru yanıt B'dir.

Öğrenci bileşik eşitsizlikte sınır değerleri karıştırır; sıkı (<) ve dâhil (≤) uçları ayırt edemeyip 1'i sayıma katarak fazladan bir tam sayı ekler ve 6 der.

YanlışDoğru cevap: B — −3

−3x + 1 ≥ 9 → −3x ≥ 8. Negatif katsayıya bölünürken eşitsizlik yön değiştirir: x ≤ 8 / (−3) = −8/3 ≈ −2,67. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı, −2,67'den küçük veya eşit en büyük tam sayı olan −3'tür.

Negatif sayıya bölerken eşitsizlik yönünün değişmesi unutulur; ayrıca −8/3 ≈ −2,67 için en büyük tam sayı −2 sanılır, oysa −2 > −2,67 olduğundan koşulu sağlamaz, doğru cevap −3'tür.

YanlışDoğru cevap: B — −2

x tam sayıları: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 (en küçük −3, en büyük 3). y tam sayıları: 0, 1, 2 (en küçük 0, en büyük 2). x − y en büyük: x en büyük, y en küçük → 3 − 0 = 3. x − y en küçük: x en küçük, y en büyük → −3 − 2 = −5. Toplam: 3 + (−5) = −2.

Öğrenci '≤' ve '<' sınırlarını yanlış dahil eder ya da farkın en küçüğünü bulurken y'nin en büyük değerini kullanmayı unutur.

YanlışDoğru cevap: C — 2

Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa topla: 3x + x < 7 + 5 ⇒ 4x < 12 ⇒ x < 3. Eşitsizlik kesin (<) olduğundan 3 dahil değildir; sağlayan en büyük tam sayı 2'dir.

x < 3 çözümünde 3'ün de dahil olduğunu sanıp cevabı 3 vermek. Kesin eşitsizlik (<) sınır değeri kapsamaz.

YanlışDoğru cevap: E — x ≤ −4

Önce 3'ü karşıya at: −2x ≥ 11 − 3 ⇒ −2x ≥ 8. Her iki tarafı −2'ye bölerken negatifle bölme yapıldığından eşitsizlik yönü DÖNER: x ≤ 8 ÷ (−2) ⇒ x ≤ −4.

Negatif katsayıyla bölerken eşitsizlik yönünü çevirmeyi unutup x ≥ −4 yazmak. Negatifle çarpma/bölmede yön mutlaka döner.

YanlışDoğru cevap: D — 4

Üç tarafa da +1 ekle: −2 ≤ 2x < 6. Üç tarafı da 2'ye böl: −1 ≤ x < 3. Tam sayı çözümler −1, 0, 1, 2 olup 4 tanedir (−1 dahil, 3 dahil değil).

Sağ uç 3'ü de sayıp 5 tam sayı bulmak. Sağ uçta kesin eşitsizlik (<) olduğundan 3 çözüm değildir.

YanlışDoğru cevap: A — −13

Paydaları eşitlemek için tüm ifadeyi 6 ile çarp (6 pozitif, yön korunur): 2(x − 2) − 3(x + 1) ≤ 6 ⇒ 2x − 4 − 3x − 3 ≤ 6 ⇒ −x − 7 ≤ 6 ⇒ −x ≤ 13. Her iki tarafı −1 ile çarp (yön DÖNER): x ≥ −13. Sağlayan en küçük tam sayı −13'tür.

3(x + 1) çıkarılırken parantezin işaret dağılımını (−3x − 3) yanlış yapmak veya son adımda −1 ile çarparken yönü çevirmemek.

YanlışDoğru cevap: B — 5

5'i karşıya at: −(2x ÷ 3) > 1 − 5 ⇒ −(2x ÷ 3) > −4. Her iki tarafı −3 ile çarp (negatif, yön DÖNER): 2x < 12 ⇒ x < 6. Kesin eşitsizlik olduğundan 6 dahil değildir; en büyük tam sayı 5'tir.

−3 ile çarparken yönü çevirmeyip x > 6 bulmak ya da x < 6'da 6'yı dahil edip 6 demek.

YanlışDoğru cevap: A — 3

Çarpımın negatif olması için çarpanların zıt işaretli olması gerekir; bu da kökler olan −3 ile 1 ARASINDA sağlanır: −3 < x < 1. Uçlar kesin eşitsizlik nedeniyle dahil değildir. Tam sayı çözümler −2, −1, 0 olup 3 tanedir.

Kökleri (−3 ve 1) çözüme dahil ederek −3, −2, −1, 0, 1 diye saymak veya çarpımın işaret analizinde 'dışarısı' ile 'arası'nı karıştırmak.

YanlışDoğru cevap: D — 18

Üç tarafa da +4 ekle: 6 < 3x ≤ 18. Üç tarafı da 3'e böl: 2 < x ≤ 6. Tam sayı çözümler 3, 4, 5, 6 (2 dahil değil, 6 dahil). Toplam: 3 + 4 + 5 + 6 = 18.

Sol uçta 2'yi de dahil edip 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 bulmak veya sağ uçta 6'yı hariç tutup 3 + 4 + 5 = 12 demek. Uçların dahil/hariç durumu işaretlere göre belirlenir.

YanlışDoğru cevap: B — 9

Üç tarafı da 3 ile çarp (pozitif, yön korunur): −12 ≤ 2x − 1 < 6. Üç tarafa +1 ekle: −11 ≤ 2x < 7. Üç tarafı 2'ye böl: −5,5 ≤ x < 3,5. Tam sayı çözümler −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 olup 9 tanedir.

Kesirli sınırı (−5,5 ve 3,5) yanlış yuvarlayıp −5 veya 3'ü dışarıda bırakmak; oysa −5 ≥ −5,5 ve 3 < 3,5 olduğundan ikisi de çözüme dahildir.

YanlışDoğru cevap: E — −4

Parantezleri aç: 3x + 6 − 2x + 2 < 5 ⇒ x + 8 < 5 ⇒ x < −3. Kesin eşitsizlik olduğundan −3 dahil değildir; sağlayan en büyük tam sayı −4'tür.

−2(x − 1) dağıtılırken ikinci terimin işaretini (−2·−1 = +2) yanlış yapıp x + 4 < 5 bulmak veya x < −3'te −3'ü dahil sanmak.

YanlışDoğru cevap: C — x ≤ 4

x'leri bir tarafa topla: 7 + 9 ≥ x + 3x ⇒ 16 ≥ 4x. Her iki tarafı 4'e böl (pozitif): 4 ≥ x, yani x ≤ 4.

−3x'i sağa taşırken işaret hatası yapıp veya 16 ≥ 4x ifadesini x ≥ 4 biçiminde ters yorumlamak. 16 ≥ 4x ⇔ x ≤ 4'tür.

YanlışDoğru cevap: A — 8

Üç tarafı da 2 ile çarp: −2 < 5 − x ≤ 6. Üç taraftan da 5 çıkar: −7 < −x ≤ 1. Üç tarafı da −1 ile çarp (negatif, TÜM yönler döner ve uçlar yer değiştirir): 7 > x ≥ −1, yani −1 ≤ x < 7. Tam sayılar −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 olup 8 tanedir.

−1 ile çarparken eşitsizlik yönlerini çevirmemek veya uç dahil/hariç durumlarını (≤ ile <) yer değiştirmeyi unutmak.

YanlışDoğru cevap: B — 5

Ortadaki sayı n olsun; ardışık üç sayı n−1, n, n+1 olur ve toplamları (n−1) + n + (n+1) = 3n'dir. Koşul: 12 < 3n < 30. Üç tarafı 3'e böl: 4 < n < 10. Tam sayı n değerleri 5, 6, 7, 8, 9 olup 5 tanedir.

Ardışık sayıların toplamını 3n yerine 3n+3 gibi yazmak veya 4 < n < 10 aralığında uçları (4 ve 10) da sayarak 7 değer bulmak.

YanlışDoğru cevap: E — 7

Paydaları eşitlemek için iki tarafı 10 ile çarp (pozitif, yön korunur): 2(2x + 1) ≤ 5(x − 1) ⇒ 4x + 2 ≤ 5x − 5. x'leri topla: 2 + 5 ≤ 5x − 4x ⇒ 7 ≤ x, yani x ≥ 7. Sağlayan en küçük tam sayı 7'dir.

Çapraz çarparken 2(2x+1) yerine 5(2x+1) kullanmak (paydaları karıştırmak) veya 7 ≤ x ifadesini x ≤ 7 biçiminde ters okumak.

YanlışDoğru cevap: C — −4

x'leri sola, sabitleri sağa topla: 4x − 2x > −3 − 7 ⇒ 2x > −10 ⇒ x > −5. Kesin eşitsizlik olduğundan −5 dahil değildir; sağlayan en küçük tam sayı −4'tür.

x > −5'te −5'i dahil edip cevabı −5 vermek veya sabitleri taşırken işaret hatası yapmak.

YanlışDoğru cevap: D — 13

Üç taraftan da 3 çıkar: −11 ≤ −x < 2. Üç tarafı da −1 ile çarp (negatif, yönler döner ve uçlar yer değiştirir): 11 ≥ x > −2, yani −2 < x ≤ 11. Tam sayılar −1, 0, 1, ..., 11 olup 13 tanedir.

−1 ile çarparken hem yönleri çevirmeyi hem de uç dahil/hariç durumunun taraf değiştirmesini gözden kaçırmak; ör. sol uçta −2'yi de sayıp 14 bulmak.