KPSS Mutlak Değer — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: E — 9

|A| = |B| eşitliği iki duruma ayrılır. 1. durum: 2x − 6 = x + 3 → x = 9. 2. durum: 2x − 6 = −(x + 3) → 2x − 6 = −x − 3 → 3x = 3 → x = 1. Her iki kök de denklemi sağlar. Köklerin çarpımı 9 · 1 = 9'dur; doğru yanıt E'dir.

Öğrenci |A|=|B| denkleminde yalnızca A=B durumunu yazıp A=−B durumunu unutur; böylece ikinci kökü (x=1) bulamaz.

YanlışDoğru cevap: C — 6

x = −3 yerine konur: x − 5 = −3 − 5 = −8, |−8| = 8. 2x + 1 = 2·(−3) + 1 = −6 + 1 = −5, |−5| = 5. |x| = |−3| = 3. İfade: 8 − 5 + 3 = 6.

Mutlak değer içindeki ifade önce sayısal olarak hesaplanıp sonra işaretsiz değeri alınır; parça parça işaret atmak yanlış sonuç verir.

YanlışDoğru cevap: D — |x| = x

|x| = x eşitliği yalnızca x ≥ 0 için doğrudur; x < 0 iken |x| = −x olur, örneğin x = −3 için |−3| = 3 ≠ −3. Diğer seçenekler her x için geçerlidir: |x|² = x² (A), √(x²) = |x| (B), |−x| = |x| (C), |x| ≥ 0 (E). Dolayısıyla her x için doğru olmayan tek eşitlik D'dir.

Öğrenci |x| = x eşitliğini bir 'özellik' sanır; oysa bu yalnızca x negatif değilken geçerlidir. Genel olarak √(x²) = |x|'dir, x değil.

YanlışDoğru cevap: C — 5

|2x − 5| = 9 iki durum verir. 1) 2x − 5 = 9 → 2x = 14 → x = 7. 2) 2x − 5 = −9 → 2x = −4 → x = −2. Kökler {7, −2}; toplamları 7 + (−2) = 5'tir.

Öğrenci yalnızca 2x − 5 = 9 durumunu çözüp ikinci (negatif) durumu unutur; böylece tek kök (7) bulup köklerin toplamını yanlış hesaplar.

YanlışDoğru cevap: A — −5

İki durum yazılır. 1) 2x − 1 = x + 4 → x = 5. Kontrol: sağ taraf x + 4 = 9 ≥ 0, geçerli. 2) 2x − 1 = −(x + 4) → 2x − 1 = −x − 4 → 3x = −3 → x = −1. Kontrol: sağ taraf x + 4 = 3 ≥ 0, geçerli. Her iki kök de geçerli; çarpım 5 · (−1) = −5'tir.

Öğrenci mutlak değerli denklemde bulduğu kökleri sağ tarafın (x + 4) işaret koşuluna göre kontrol etmeyi unutur veya negatif durumu atlar; geçersiz/eksik kökle çarpımı yanlış bulur.

YanlışDoğru cevap: C — 11

|x − 4| < 6 → −6 < x − 4 < 6 → −2 < x < 10. Bu açık aralıktaki tam sayılar −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur. Uç değerler −2 ve 10 dâhil değildir (kesin eşitsizlik). Sayarsak 11 tam sayı vardır.

Öğrenci sınır değerleri (−2 ve 10) çözüme dâhil ederek 13 tam sayı sayar; oysa '<' işareti uçları kapsamaz.

YanlışDoğru cevap: D — 4

Dış mutlak değeri açalım: |x − 2| − 5 = 4 veya |x − 2| − 5 = −4. Birinci: |x − 2| = 9 → x − 2 = 9 (x = 11) veya x − 2 = −9 (x = −7). İkinci: |x − 2| = 1 → x − 2 = 1 (x = 3) veya x − 2 = −1 (x = 1). Dört kök: {−7, 1, 3, 11}, tümü farklı ve geçerli (|x − 2| değerleri 9 ve 1 pozitif). Toplam 4 kök.

Öğrenci iç içe mutlak değerde yalnızca dış katmanı açıp (2 kök bulup) iç katmanın da iki dal açtığını fark etmez; kök sayısını eksik sayar.

YanlışDoğru cevap: C — 5

−2 < x < 3 aralığında işaretleri belirleyelim. x − 3: x < 3 olduğundan negatiftir, dolayısıyla |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x. x + 2: x > −2 olduğundan pozitiftir, dolayısıyla |x + 2| = x + 2. Toplam: (3 − x) + (x + 2) = 5. İfade bu aralıkta sabit olup 5'e eşittir.

Öğrenci parçaların işaretini yanlış belirleyip |x − 3| = x − 3 alır; böylece x'li terimler sadeleşmez ve sabit sonucu (5) bulamaz.

YanlışDoğru cevap: B — x ≤ −1 veya x ≥ 5

|3x − 6| ≥ 9 dışarıda tipi eşitsizliktir: 3x − 6 ≥ 9 veya 3x − 6 ≤ −9. Birinci: 3x ≥ 15 → x ≥ 5. İkinci: 3x ≤ −3 → x ≤ −1. Çözüm: x ≤ −1 veya x ≥ 5. İstenirse önce 3 parantezine alınıp 3|x − 2| ≥ 9 → |x − 2| ≥ 3 → x ≥ 5 veya x ≤ −1 olarak da bulunur.

Öğrenci '≥' eşitsizliğini '≤' gibi düşünüp tek kapalı aralık (−1 ≤ x ≤ 5) yazar; oysa mutlak değer bir sayıdan büyük-eşitse çözüm iki ayrı dış aralıktır.

YanlışDoğru cevap: E — 2b − a

a < 0 < b verildiğinden a − b < 0, dolayısıyla |a − b| = −(a − b) = b − a. Aynı şekilde b − a > 0 olduğundan |b − a| = b − a. a < 0 olduğundan |a| = −a. İfade: (b − a) + (b − a) − (−a) = 2b − 2a + a = 2b − a. Doğru sade biçim 2b − a'dır.

Öğrenci |a| = −a açılımında işaret çevirmeyi (a negatif olduğu için |a| pozitif) atlar; −|a| = −(−a) = +a olduğunu görmeyip 2b − 2a (D) sonucunda kalır.

YanlışDoğru cevap: B — 2

|x − 3| + |x + 1| ifadesi x'in 3 ve −1 noktalarına uzaklıkları toplamıdır; bu iki nokta arası mesafe 4 olduğundan [−1, 3] aralığında toplam sabit 4'tür, dışarıda ise artar. Eşitlik 6 (> 4) için kökler aralığın dışındadır. x > 3: (x − 3) + (x + 1) = 2x − 2 = 6 → x = 4 (≥ 3 geçerli). x < −1: (3 − x) + (−x − 1) = −2x + 2 = 6 → x = −2 (< −1 geçerli). Kökler {4, −2}; toplam 4 + (−2) = 2'dir.

Öğrenci mutlak değer toplamını her aralık için ayrı yazmayı unutup yalnızca bir dalı çözer ya da [−1, 3] iç aralığında sabit 4'ü fark etmeyip yanlış kök üretir; ikinci kökü kaçırınca toplamı yanlış bulur.

YanlışDoğru cevap: D — Denklemin gerçek kökü yoktur

|x + 3| + 4 = 2 → |x + 3| = 2 − 4 = −2. Mutlak değer hiçbir zaman negatif olamayacağından |x + 3| = −2 eşitliğini sağlayan hiçbir gerçek x yoktur. Dolayısıyla denklemin gerçek kökü yoktur.

Öğrenci |x + 3| = −2 durumunda x + 3 = −2 ve x + 3 = 2 diye açıp sahte kökler (−5 ve −1) üretir; oysa sağ taraf negatif olduğu için denklem çözümsüzdür.

YanlışDoğru cevap: D — 14/3

|A| = |B| ise A = B veya A = −B'dir. Durum 1: 2x − 1 = x + 5 → x = 6. Durum 2: 2x − 1 = −(x + 5) → 2x − 1 = −x − 5 → 3x = −4 → x = −4/3. Kökler {6, −4/3}; toplam 6 + (−4/3) = 18/3 − 4/3 = 14/3'tür.

Öğrenci |A| = |B| denkleminde yalnızca A = B durumunu çözüp A = −B durumunu atlar; ikinci kökü kaçırdığı için toplamı yanlış bulur.

YanlışDoğru cevap: B — 1

√(a²) = |a| kuralı uygulanır. √(x²) = |x|; 0 < x olduğundan |x| = x. √((x − 1)²) = |x − 1|; x < 1 olduğundan x − 1 < 0 ve |x − 1| = −(x − 1) = 1 − x. Toplam: x + (1 − x) = 1. İfade bu aralıkta sabit olup 1'e eşittir.

Öğrenci √((x − 1)²) = x − 1 alır (mutlak değeri atlar); oysa x < 1 için ifade 1 − x'tir. Bu hata sabit sonucu (1) bulmayı engeller.

YanlışDoğru cevap: C — 0 ≤ x ≤ 4 aralığındaki tüm x değerleri sağlar

|x| + |x − 4| ifadesi, x'in 0 ile 4 noktalarına olan uzaklıkları toplamıdır. 0 ve 4 arası uzaklık 4'tür. x, [0, 4] aralığında iken bu iki uzaklığın toplamı tam olarak 4'e eşittir (0 ≤ x ≤ 4). Aralık dışında ise toplam 4'ten büyük olur. Doğrulama: x = 2 için |2| + |−2| = 4 ✓; x = 0 için 0 + 4 = 4 ✓; x = 4 için 4 + 0 = 4 ✓; x = 5 için 5 + 1 = 6 ≠ 4. Dolayısıyla çözüm kümesi [0, 4] aralığının tamamıdır.

Öğrenci denklemi yalnızca ayrık kökler (0 ve 4 gibi) verir sanır; oysa iki uzaklık toplamı, iki nokta arası mesafeye eşitse tüm ara aralık çözümdür.

YanlışDoğru cevap: C — 8

1 ≤ |x − 2| ≤ 4 iki koşulun kesişimidir. |x − 2| ≤ 4 → −2 ≤ x ≤ 6. |x − 2| ≥ 1 → x − 2 ≥ 1 veya x − 2 ≤ −1 → x ≥ 3 veya x ≤ 1. Kesişim: −2 ≤ x ≤ 1 veya 3 ≤ x ≤ 6. İlk parça {−2, −1, 0, 1} (4 tam sayı), ikinci parça {3, 4, 5, 6} (4 tam sayı). Toplam 8 tam sayı. (x = 2 dışlanır çünkü |x − 2| = 0 < 1.)

Öğrenci alt sınır (|x − 2| ≥ 1) koşulunu ihmal edip yalnızca −2 ≤ x ≤ 6 aralığındaki 9 tam sayıyı sayar; oysa x = 2 çözüm değildir.

YanlışDoğru cevap: E — 13

Sapma = |ölçülen − 5|. Verilen ölçüm −3 için sapma |−3 − 5| = |−8| = 8'dir. Aynı sapmaya sahip diğer sıcaklık T için |T − 5| = 8 olmalıdır: T − 5 = 8 → T = 13, veya T − 5 = −8 → T = −3 (bu zaten verilen değer). Verilenden farklı olan diğer sıcaklık T = 13 °C'dir.

Öğrenci |T − 5| = 8 denkleminde yalnızca T − 5 = −8 durumunu görüp verilen değere (−3) döner veya pozitif dalı unutur; oysa 5'e 8 birim uzaktaki diğer nokta 13'tür.