KPSS Bağıntı ve Fonksiyon — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: C — 4

Önce içteki fonksiyon: f(a) = 2a − 3. Bunu dışa yerleştir: f(f(a)) = 2·(2a − 3) − 3 = 4a − 6 − 3 = 4a − 9. Bu ifade 7’ye eşit: 4a − 9 = 7 → 4a = 16 → a = 4.

Öğrenci f(f(a)) yerine f(a·a) ya da 2·f(a) hesaplayıp bileşke fonksiyon kuralını yanlış uygular.

YanlışDoğru cevap: C — 6

(f∘g)(a) = f(g(a)) = f(a−1) = 2(a−1) + 3 = 2a + 1'dir. Bu ifade 15'e eşit alınır: 2a + 1 = 15, buradan 2a = 14 ve a = 7 bulunur. Soru g(a)'yı sorduğu için g(7) = 7 − 1 = 6 hesaplanır; doğru cevap 6'tır.

Bileşke fonksiyonda içten dışa uygulama yapılır: önce g(a) bulunur. Ayrıca a değeri (7) ile istenen g(a) değeri (6) karıştırılır.

YanlışDoğru cevap: D — f(1)=a, f(2)=b (3 elemanı eşleşmemiş)

Fonksiyon olması için tanım kümesi A'daki HER elemanın bir görüntüsü olmalıdır. D seçeneğinde 3 elemanı B'den hiçbir eleman ile eşleşmemiştir, yani açıkta kalmıştır; bu 'her elemanın görüntüsü olmalı' koşulunu bozar. A, B, C, E seçeneklerinde üç elemanın da tek bir görüntüsü vardır (B tarafında bir elemanın birden çok kez seçilmesi fonksiyonluğu bozmaz), bu yüzden onlar fonksiyondur.

Bir A elemanının açıkta kalması (görüntüsü olmaması) fonksiyonluğu bozar; öğrenci sadece 'tek görüntü' koşuluna bakıp 'her eleman eşleşmeli' koşulunu unutur.

YanlışDoğru cevap: C — 9

f(4) = 3·4 − 5 = 12 − 5 = 7. f(1) = 3·1 − 5 = 3 − 5 = −2. f(4) − f(1) = 7 − (−2) = 7 + 2 = 9. (Doğrusal fonksiyonda fark, eğim × girdi farkına eşittir: 3·(4−1) = 9.)

f(1) = −2 negatiftir; çıkarmada −(−2) = +2 olduğu gözden kaçarsa 7 − 2 = 5 gibi yanlış sonuç bulunur (işaret hatası).

YanlışDoğru cevap: B — 3

(fog)(2) = f(g(2)) demektir; önce içteki g uygulanır. g(2) = 2² − 3 = 4 − 3 = 1. Sonra f(1) = 2·1 + 1 = 3. Yani (fog)(2) = 3.

Öğrenci (fog)(2)'yi g(f(2)) olarak ters uygularsa: f(2)=5, g(5)=25−3=22 gibi yanlış yola girer. Bileşkede önce içteki (g) uygulanır.

YanlışDoğru cevap: D — 4

(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1) − 4 = 2x − 3. (fog)(x) = f(g(x)) = f(x−4) = 2(x−4) + 1 = 2x − 8 + 1 = 2x − 7. Fark: (gof)(x) − (fog)(x) = (2x − 3) − (2x − 7) = 2x − 3 − 2x + 7 = 4. x'ler sadeleşir, sonuç sabit +4'tür.

İki bileşkenin farkında x'ler sadeleşip sonuç sabit çıkar; (−3) − (−7) = +4 işaret işlemi yanlış yapılırsa −4 (B) veya 0 (C) bulunur.

YanlışDoğru cevap: B — (x + 7) / 4

y = 4x − 7 yazılır. x yalnız bırakılır: y + 7 = 4x, buradan x = (y + 7) / 4. x ile y yer değiştirilir: f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

f(x)=ax+b'nin tersi (x−b)/a'dır; b=−7 olduğundan −(−7)=+7 gelir. Öğrenci −7'yi taşırken işaret değiştirmeyi unutup (x − 7)/4 yazar.

YanlışDoğru cevap: C — 3

f⁻¹(7), 'f(x) = 7 olan x kaçtır?' demektir. 3x − 2 = 7 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3. Kontrol: f(3) = 3·3 − 2 = 7. Dolayısıyla f⁻¹(7) = 3.

Öğrenci f⁻¹(7) yerine f(7)'yi hesaplayıp 3·7−2 = 19 bulur (E çeldiricisi); oysa ters fonksiyon x'i geri çözmeyi gerektirir.

YanlışDoğru cevap: B — f(x) = 3x − 1

Doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b'dir. Eğim a = (14 − 5)/(5 − 2) = 9/3 = 3. f(2) = 5 ⇒ 3·2 + b = 5 ⇒ 6 + b = 5 ⇒ b = −1. Böylece f(x) = 3x − 1. Kontrol: f(5) = 3·5 − 1 = 14. Doğru.

b'yi bulurken 6 + b = 5 denkleminden b = −1 yerine b = +1 alınırsa (işaret hatası) yanlışlıkla f(x)=3x+1 (C) seçilir.

YanlışDoğru cevap: C — 2x − 2

(fog)(x) = f(g(x)) = 2·g(x) + 3 olur. Bu 4x − 1'e eşit: 2·g(x) + 3 = 4x − 1 ⇒ 2·g(x) = 4x − 4 ⇒ g(x) = 2x − 2. Kontrol: f(g(x)) = 2(2x−2)+3 = 4x − 4 + 3 = 4x − 1. Doğru.

2·g(x) = 4x − 4 adımından g(x) bulunurken tüm ifade 2'ye bölünmezse (sadece 4x bölünüp −4 unutulursa) g(x)=2x−4 gibi yanlış sonuç çıkar.

YanlışDoğru cevap: D — 17

s(A)=2, s(B)=3. A → B fonksiyon sayısı: s(B)^s(A) = 3² = 9. B → A fonksiyon sayısı: s(A)^s(B) = 2³ = 8. Toplam: 9 + 8 = 17.

Fonksiyon sayısı formülünde taban ile üs karıştırılır; A→B için 2³=8 (yanlış) alınırsa toplam hatalı çıkar. Kural: (değer kümesi eleman sayısı)^(tanım kümesi eleman sayısı).

YanlışDoğru cevap: E — 10

f⁻¹(3), 'f(x) = 3 olan x kaçtır?' demektir. (2x + 1)/(x − 3) = 3 ⇒ 2x + 1 = 3(x − 3) ⇒ 2x + 1 = 3x − 9 ⇒ 1 + 9 = 3x − 2x ⇒ x = 10. Kontrol: (2·10+1)/(10−3) = 21/7 = 3. Doğru.

Payda ile çarpma yapılırken 3(x−3) dağıtılmazsa (3x − 3 gibi yazılırsa) yanlış x bulunur; ayrıca f⁻¹(3) yerine f(3) hesaplanabilir.

YanlışDoğru cevap: D — Değer kümesindeki her eleman mutlaka bir tanım kümesi elemanının görüntüsüdür.

D yanlıştır: Değer kümesindeki bir eleman hiçbir tanım kümesi elemanının görüntüsü olmayabilir (fonksiyon örten değilse). Bu durumda o eleman görüntü kümesine girmez. Doğru olan, görüntü ⊆ değer kümesi olmasıdır (A). B örtenlik tanımıdır ve doğrudur; C fonksiyonun temel koşuludur; E görüntü kümesinin tanımıdır.

Görüntü kümesi ile değer kümesi eşit sanılır; oysa değer kümesinin bazı elemanları hiç kullanılmayabilir (fonksiyon örten olmadıkça).

YanlışDoğru cevap: E — 4

(fog)(x) = f(g(x)) = 2(kx + 3) + 1 = 2kx + 7. (gof)(x) = g(f(x)) = k(2x + 1) + 3 = 2kx + k + 3. Eşitlik her x için sağlandığından sabit terimler eşit olmalı: 7 = k + 3 ⇒ k = 4. (x katsayıları 2k = 2k zaten eşittir.) Kontrol: k=4 için fog = 8x+7, gof = 8x+4+3 = 8x+7. Eşit.

fog ve gof yalnızca özel k değerinde eşitlenir; öğrenci sadece x katsayılarına bakıp (2k = 2k) 'her k için eşit' sanır ya da sabit terim denklemini k+3=7 yerine k−3=7 kurup yanlış k bulur.

YanlışDoğru cevap: A — (x − 1) / 6

Önce (gof)(x) = g(f(x)) = 3(2x − 1) + 4 = 6x − 3 + 4 = 6x + 1. Şimdi tersini bul: y = 6x + 1 ⇒ y − 1 = 6x ⇒ x = (y − 1)/6. x ↔ y değiştir: (gof)⁻¹(x) = (x − 1)/6.

6x + 1'in tersi bulunurken sabit +1 taşınırken işaret değiştirmeyi unutup (x + 1)/6 (B) yazmak tipik hatadır.

YanlışDoğru cevap: C — 6

f(−1) = (−1)² − 2·(−1) + 3 = 1 − (−2) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6. Dikkat: (−1)² = +1 ve −2·(−1) = +2'dir.

(−1)² yanlışlıkla −1 alınır veya −2·(−1) teriminde işaret yanlış yapılırsa (−2 gibi) sonuç 6 yerine 2 çıkar (A çeldiricisi).

YanlışDoğru cevap: D — 10

f(x) = ax + b doğrusal olsun. f(x+2) − f(x) = a(x+2)+b − (ax+b) = 2a. Verilene göre bu 6'ya eşit: 2a = 6 ⇒ a = 3. f(0) = b = 1. Yani f(x) = 3x + 1. f(3) = 3·3 + 1 = 10.

2a = 6'dan a = 3 yerine a = 6 alınırsa ya da f(0)=1 sabitini eklemek unutulursa (f(3)=9 gibi) yanlış sonuç bulunur.