KPSS İşlem — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: B — −1

Önce parantez içi: 3 ⊕ 2 = 3·2 − (3 + 2) = 6 − 5 = 1. Sonra dıştaki işlem: 1 ⊕ 4 = 1·4 − (1 + 4) = 4 − 5 = −1. Dolayısıyla (3 ⊕ 2) ⊕ 4 = −1’dir.

Öğrenci işlem sırasını (parantez önceliğini) gözden kaçırıp soldan sağa gelişigüzel işler ya da a+b terimini çıkarmayı unutur.

YanlışDoğru cevap: B — 3

Önce 2 ⊕ x = 2·x + 2 + x = 3x + 2 bulunur. Buna k = 3x + 2 dersek k ⊕ 1 = k·1 + k + 1 = 2k + 1 olur. Eşitlik 2k + 1 = 23 verir, buradan k = 11 çıkar. 3x + 2 = 11 olduğundan 3x = 9 ve x = 3 bulunur.

İç içe tanımlı işlemde önce parantez içi hesaplanmalıdır; k ⊕ 1 hesaplanırken '+1' terimi unutulup yalnız 2k alınır.

YanlışDoğru cevap: B — 15

Tanımda a = 5, b = 2 yazılır (sırayı koru): 3·5 − 2·2 + 4 = 15 − 4 + 4 = 15. Sonuç 15'tir.

a soldaki, b sağdaki sayıdır; yerleri karıştırılırsa (2 * 5 gibi) 3·2 − 2·5 + 4 = 0 bulunur ki yanlıştır. Ayrıca −2b terimindeki eksi işareti düşürülmemeli.

YanlışDoğru cevap: D — 9

İç içe işlemde en içteki parantezden başlanır. Önce 2 Δ 3 = 2·3 − 2 + 3 = 6 − 2 + 3 = 7. Sonra 7 Δ 2 = 7·2 − 7 + 2 = 14 − 7 + 2 = 9. Sonuç 9'dur.

İç içe işlemde dıştaki işlemden değil, en içteki (2 Δ 3) parantezinden başlanır; ilk sonuç olan 7'de durup onu cevap sanmak (B şıkkı) tipik hatadır. Ayrıca −a terimi taşınırken işaret korunmalıdır.

YanlışDoğru cevap: A — 7

En içteki parantezden başlanır. 3 ♦ 4 = 2·3 + 4 − 5 = 6 + 4 − 5 = 5. Sonra 5 ♦ 2 = 2·5 + 2 − 5 = 10 + 2 − 5 = 7. Sonuç 7'dir.

2a katsayısı yalnızca soldaki a'ya uygulanır; b'ye uygulanmaz. İç işlem sonucunu (5) ikinci işlemde a yerine koymayı unutmak tipik hatadır.

YanlışDoğru cevap: C — 4

Etkisiz eleman e için a * e = a olmalıdır. Tanıma göre a + e − 4 = a → e − 4 = 0 → e = 4. Kontrol: a * 4 = a + 4 − 4 = a ✓ ve 4 * a = 4 + a − 4 = a ✓. Etkisiz eleman 4'tür.

Etkisiz eleman her zaman 0 (toplama) veya 1 (çarpma) değildir; tanıma göre a * e = a denklemi kurularak bulunur. Sabiti (−4) sıfır sanmak yanlış götürür.

YanlışDoğru cevap: A — −3/4

Önce etkisiz eleman e bulunur: a * e = a → a + e + a·e = a → e + a·e = 0 → e(1 + a) = 0 → e = 0. Şimdi 3'ün tersi x: 3 * x = e = 0 → 3 + x + 3x = 0 → 3 + 4x = 0 → 4x = −3 → x = −3/4. 3'ün tersi −3/4'tür.

Ters eleman bulunurken önce etkisiz eleman (e = 0) bulunmalı ve a * x = e denklemi kurulmalıdır. e'yi atlayıp doğrudan sonuç aramak veya 3 * x = 1 kurmak yanlıştır.

YanlışDoğru cevap: D — a * b = 2a − b

Değişme için a * b = b * a genel a, b'de sağlanmalıdır. D'de a * b = 2a − b iken b * a = 2b − a; bunlar genelde eşit değildir (örn. 3 * 1 = 5, 1 * 3 = −1). Diğerleri simetriktir: A ve B toplam/çarpım simetrik; C'de a+b+a·b simetrik; E'de a²+b² simetrik. Yalnız D'de değişme yoktur.

Değişme özelliği bir sayı çiftiyle test edilmez; genel a, b ile iki taraf yazılmalı. 2a − b ifadesinde a ve b farklı katsayılı olduğundan simetri bozulur.

YanlışDoğru cevap: B — 9

İç içe işlemde parantezden başlanır. 1 * 3 = 2·1·3 − 3 = 6 − 3 = 3. Sonra 2 * 3 = 2·2·3 − 3 = 12 − 3 = 9. Sonuç 9'dur.

Parantez içteki 1 * 3'ü zorunlu kılar; 2 * 1'i önce yapmak yanlıştır. Ayrıca 2a·b, (2a)·b = 2·a·b demektir; katsayı çarpıma dahildir.

YanlışDoğru cevap: E — 0'ın ters elemanı yoktur.

Etkisiz eleman: a + e − a·e = a → e(1 − a) = 0 → e = 0 (A doğru). Değişme: a+b−a·b simetriktir (B doğru). 2 * 3 = 2 + 3 − 6 = −1 (C doğru). 1 * a = 1 + a − 1·a = 1 (D doğru). Ters eleman: e = 0 olduğundan 0 * x = 0 → 0 + x − 0 = x = 0; yani 0'ın tersi 0'dır, VARDIR. Dolayısıyla '0'ın ters elemanı yoktur' ifadesi YANLIŞTIR. Doğru cevap E.

0'ın tersi olmadığını sanmak yaygın hatadır; e = 0 iken 0 * x = e denklemi x = 0 verir, yani 0 kendi tersidir. Etkisiz eleman ile 0'ı otomatik ters-yok sanmak yanıltıcıdır.

YanlışDoğru cevap: A — 9

İç parantez önce: 3 * 2 = 3² − 2 = 9 − 2 = 7. Sonra 4 * 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9. Sonuç 9'dur.

a² yalnızca soldaki terimin karesidir; (a − b)² ile karıştırılmamalı. İç işlemi (7) atlayıp 4 * 3'ü önce yapmak yanlıştır.

YanlışDoğru cevap: C — 4

Tanıma göre x * 2 = 3x − 2. Bu ifade 10'a eşit: 3x − 2 = 10 → 3x = 12 → x = 4. Kontrol: 4 * 2 = 3·4 − 2 = 12 − 2 = 10 ✓. Sonuç 4'tür.

x soldaki eleman olduğundan 3a katsayısı x'e uygulanır. 3·2 − x = 10 (yerleri ters) kurmak x = −4 verir ki yanlıştır; sıra korunmalıdır.

YanlışDoğru cevap: E — 3

Etkisiz eleman e için a * e = a olmalı: a·e − 2(a + e) + 6 = a → a·e − 2a − 2e + 6 = a → a·e − 2e = a + 2a − 6 → e(a − 2) = 3a − 6 = 3(a − 2). a ≠ 2 için iki taraf (a − 2)'ye bölünür: e = 3. Kontrol: a * 3 = 3a − 2(a + 3) + 6 = 3a − 2a − 6 + 6 = a ✓. Etkisiz eleman 3'tür.

Etkisiz eleman denkleminde a'lı terimler bir tarafta toplanıp ortak çarpan alınmalı; e sabit bir sayıdır ve a'dan bağımsız çıkmalıdır. Dağıtımı (−2(a+e)) yanlış açmak sık hatadır.

YanlışDoğru cevap: B — 11

İç parantez önce: 2 * 1 = 2 + 2·1 = 2 + 2 = 4. Sonra 3 * 4 = 3 + 2·4 = 3 + 8 = 11. Sonuç 11'dir.

2b katsayısı yalnız sağdaki b'ye uygulanır. Bu işlem değişmeli değildir (3 * 4 ≠ 4 * 3), o yüzden iç sonucu doğru konuma (sağa) yazmak gerekir.

YanlışDoğru cevap: E — Her tam sayının ters elemanı yoktur.

Değişme: a+b−1 simetrik, VAR (A söylenebilir). Birleşme: (a*b)*c = (a+b−1)+c−1 = a+b+c−2; a*(b*c) = a+(b+c−1)−1 = a+b+c−2, eşit → VAR (B söylenebilir). Etkisiz: a + e − 1 = a → e = 1 (C söylenebilir). 5'in tersi x: 5 + x − 1 = e = 1 → x = −3 (D söylenebilir). Ters eleman: her a için a + x − 1 = 1 → x = 2 − a hep bir tam sayıdır, yani her tam sayının tersi VARDIR. Dolayısıyla 'her tam sayının ters elemanı yoktur' ifadesi SÖYLENEMEZ. Doğru cevap E.

x = 2 − a her tam sayı a için yine tam sayı olduğundan ters eleman daima vardır; ters elemanın yokluğunu iddia etmek hatalıdır. Etkisiz elemanı (1) bulmadan tersleri kontrol etmek yanıltır.

YanlışDoğru cevap: D — 23

Soldan başlanır. 2 * 3 = 2·3 + 2 + 3 = 6 + 5 = 11. Sonra 11 * 1 = 11·1 + 11 + 1 = 11 + 12 = 23. Sonuç 23'tür.

İşlem soldan sağa gruplanır ((2*3)*1); ilk sonucu (11) ikinci işleme taşımayı unutmak veya 3 * 1'i önce yapmak yanlış götürür. a·b + a + b terimlerinin tamamı toplanmalı.

YanlışDoğru cevap: C — 1

Tanıma göre a = 1, b = 1/2 yazılır: (1 + 1/2) / (1 + 1·(1/2)) = (3/2) / (1 + 1/2) = (3/2) / (3/2) = 1. Pay ve payda eşit olduğundan sonuç 1'dir.

Paydadaki 1 + a·b terimini 1 + a + b sanmak veya bölme yerine çıkarma yapmak yaygın hatadır. Karmaşık kesirde pay ve payda ayrı sadeleştirilip sonra bölünmelidir.