KPSS Denklem Çözme — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: A — 16/24

Pay x, payda y olsun. x + y = 40. İkinci koşul: (x+4)/(y-4) = 1, yani x + 4 = y - 4, buradan y - x = 8. İki denklem: x + y = 40 ve y - x = 8. Taraf tarafa toplayınca 2y = 48, y = 24; buradan x = 16. Kesir 16/24'tür. Kontrol: pay+payda=40, (16+4)/(24-4)=20/20=1. Doğru cevap A.

Öğrenci 'pay+4, payda-4' işaretlerini ters uygulayıp y - x yerine x - y = 8 alarak payı büyük seçebilir (18/22 gibi); işaret yönü kesirin 1'e eşitlenme koşuluyla belirlenmelidir.

YanlışDoğru cevap: D — 34

Babanın bugünkü yaşı b, oğlunun x olsun: b + x = 42, yani b = 42 − x. 5 yıl sonra baba yaşı oğul yaşının 3 katıdır: b + 5 = 3·(x + 5). Bu denklemde b yerine 42 − x yazılır: (42 − x) + 5 = 3x + 15 → 47 − x = 3x + 15 → 32 = 4x → x = 8. Buradan b = 42 − 8 = 34 bulunur. Kontrol: 5 yıl sonra baba 39, oğul 13 olur ve 39 = 3·13 sağlanır. Dolayısıyla babanın bugünkü yaşı 34’tür.

“3 katı” koşulu bugüne değil, 5 yıl sonrasına uygulanmalıdır; denklem kurulurken her iki yaşa da 5 eklenmelidir.

YanlışDoğru cevap: B — 8

Oğlun bugünkü yaşı x, babanın yaşı 44 − x olsun. 6 yıl sonra oğul (x + 6), baba (44 − x + 6) = (50 − x) olur. Koşul: 50 − x = 3·(x + 6). 50 − x = 3x + 18 → 50 − 18 = 3x + x → 32 = 4x → x = 8. Kontrol: bugün oğul 8, baba 36 (toplam 44); 6 yıl sonra oğul 14, baba 42 = 3·14. Doğru; oğlun bugünkü yaşı 8’dir.

Öğrenci ‘6 yıl sonra’ ifadesini yalnızca babaya ekleyip oğlun yaşını sabit tutar.

YanlışDoğru cevap: D — 14

İçler-dışlar çarpımı: 2(2x-1)=3(x+4) → 4x-2=3x+12. Değişkenleri bir tarafa: 4x-3x=12+2 → x=14. Kontrol: (2·14-1)/3=27/3=9 ve (14+4)/2=18/2=9; eşitlik sağlanır. Doğru yanıt 14.

Öğrenci çapraz çarpımda dağılmayı unutup 2·2x-1=3·x+4 (yalnız ilk terimi çarpar) yazar; doğru dağıtımla 4x-2=3x+12 ve x=14 bulunur.

YanlışDoğru cevap: A — Denklemin çözümü yoktur.

Sol taraf: 3·(x−2)+4 = 3x − 6 + 4 = 3x − 2. Sağ taraf: 2·(x+1)+x−6 = 2x + 2 + x − 6 = 3x − 4. Denklem: 3x − 2 = 3x − 4. Her iki taraftan 3x çıkarılırsa: −2 = −4, ki bu yanlış (çelişki) bir eşitliktir. Değişken kaybolduğu ve geriye yanlış bir eşitlik kaldığı için denklemin çözümü yoktur. Doğru yanıt A'dır.

Değişken (3x) sadeleşip geriye YANLIŞ bir sayı eşitliği kalırsa denklemin çözümü yoktur; geriye DOĞRU bir eşitlik (ör. 0=0) kalsaydı sonsuz çözüm olurdu. Öğrenci −2=−4 çelişkisini görünce paniğe kapılıp bir x değeri uydurabilir.

YanlışDoğru cevap: C — 9

Oğlun şimdiki yaşı x olsun; baba 44 − x olur. 4 yıl sonra oğul x+4, baba (44−x)+4 = 48−x olur. Koşul: 48 − x = 3·(x + 4). Buradan 48 − x = 3x + 12 ⇒ 48 − 12 = 3x + x ⇒ 36 = 4x ⇒ x = 9. Oğul şu an 9 yaşındadır. Kontrol: baba şimdi 35, 4 yıl sonra 39; oğul 4 yıl sonra 13; 3·13 = 39, koşul sağlanır.

'4 yıl sonra' koşulunu yalnızca bir kişiye uygulamak ya da toplam yaş denklemini kurmadan kat ilişkisini bugüne yazmak hatalı sonuç verir.

YanlışDoğru cevap: D — 15

Oğulun bugünkü yaşı x, babanın yaşı 50−x olsun. 5 yıl sonra: baba (50−x)+5=55−x, oğul x+5. Koşul: baba, oğulun 2 katı → 55−x = 2(x+5) → 55−x = 2x+10 → 45 = 3x → x = 15. Kontrol: bugün oğul 15, baba 35; 5 yıl sonra oğul 20, baba 40 ve 40 = 2×20 sağlanır.

Yaş problemlerinde "5 yıl sonra" ifadesi her iki kişinin yaşına da eklenmelidir; yalnızca birine eklenirse denklem yanlış kurulur.

YanlışDoğru cevap: D — 7

Sol taraf dağıtılır: 3x−6+2x+8=5x+2. Denklem: 5x+2=4x+9. Bilinmeyenler bir tarafa: 5x−4x=9−2, x=7 (D). Yerine koyarak doğrulama: sol=3(7−2)+2(7+4)=3·5+2·11=15+22=37; sağ=4·7+9=28+9=37. Eşitlik sağlanır.

Parantez açılırken her terim katsayıyla çarpılmalı ve işaretler korunmalıdır; 3(x−2) yalnızca 3x vermez.

YanlışDoğru cevap: D — 6

Once parantez dagitilir: 5x − 10 − 3 = 2x + 5 → 5x − 13 = 2x + 5. Bilinmeyenler sola, sayilar saga tasinir: 5x − 2x = 5 + 13 → 3x = 18 → x = 6. Kontrol: 5(6−2) − 3 = 5·4 − 3 = 17 ve 2·6 + 5 = 17; esitlik saglanir.

Parantez dagitilirken 5 ile hem x'in hem de −2'nin carpilmasi gerekir (5·(−2) = −10); ayrica terim tarafa gecerken isaret degisir.

YanlışDoğru cevap: B — −1

Paydalarin OKEK'i 6'dir; tum terimler 6 ile carpilir: 2(2x − 1) − 3(x − 3) = 6. Dagit: 4x − 2 − 3x + 9 = 6 → x + 7 = 6 → x = −1. Kontrol: (2·(−1)−1)/3 − ((−1)−3)/2 = (−3)/3 − (−4)/2 = −1 − (−2) = 1; saglanir.

−3(x − 3) dagitiminda ikinci terim −3·(−3) = +9 olur; eksi parantezde isaretlerin degismesini unutmak en yaygin hatadir.

YanlışDoğru cevap: C — 6

Ikinci denklemden y = 2x − 6 cekilir ve birincide yerine yazilir: 3x + 2(2x − 6) = 16 → 3x + 4x − 12 = 16 → 7x = 28 → x = 4. Bunu ikinci denkleme koy: y = 2·4 − 6 = 2. O halde x + y = 4 + 2 = 6.

Sistem cozulurken bir bilinmeyen digerinden ceker; 2(2x − 6) dagitiminda −12 terimini unutmak yanlis x degeri verir.

YanlışDoğru cevap: D — 6

Bir sistemin cozumsuz olmasi icin degisken katsayilarinin orani esit, sabit terim orani farkli olmalidir: 4/2 = k/3 ≠ 12/5. 4/2 = 2 oldugundan k/3 = 2 → k = 6. Sabit kontrolu: 4/2 = 2 iken 12/5 = 2,4 farkli oldugundan gercekten cozumsuzdur.

Paralellik icin yalnizca degisken katsayi oranlari esit olmali (a₁/a₂ = b₁/b₂); sabit terimlerin orani farkli kalmalidir. Sabit terimi de orana katmak sonsuz cozum ile karistirir.

YanlışDoğru cevap: A — 6

Sayi x olsun. '3 katinin 7 eksigi' → 3x − 7; '5 fazlasi' → x + 5. Denklem: 3x − 7 = x + 5. Bilinmeyenler sola: 3x − x = 5 + 7 → 2x = 12 → x = 6. Kontrol: 3·6 − 7 = 11 ve 6 + 5 = 11; esittir.

'3 katinin 7 eksigi' ifadesi 3x − 7 demektir; 3(x − 7) veya 7 − 3x degildir. Cumleyi kurarken 'kat' islemi once, 'eksik' sonra uygulanir.

YanlışDoğru cevap: B — 5

x/y = 3/4 oldugundan bir k icin x = 3k, y = 4k yazilir. Toplam: 3k + 4k = 35 → 7k = 35 → k = 5. Buna gore x = 15, y = 20. Fark: y − x = 20 − 15 = 5.

Oran x/y = 3/4 iken x = 3, y = 4 sanmak yaygin hatadir; ortak carpan k ile x = 3k, y = 4k yazip toplam kosuluyla k bulunmalidir.

YanlışDoğru cevap: E — 6x + 2 = 2(3x + 2)

Sonsuz cozumlu denklem, sadelestiginde 0 = 0 gibi her x'i saglayan ozdeslige donusur. A: 2x + 6 = 2x + 6 (ozdeslik). B: 3x − x + 4 = 2x + 4 → 2x + 4 = 2x + 4 (ozdeslik). C: her iki taraf ayni (ozdeslik). D: 4x − 4 = 4x − 4 (ozdeslik). E: 6x + 2 = 6x + 4 → 2 = 4, bu asla dogru degildir; cozumsuzdur (bos kume). Dolayisiyla sonsuz cozumlu OLMAYAN E'dir.

6x + 2 = 2(3x + 2) sadelesince 2 = 4 celiskisi verir; sag tarafta 2·2 = 4 oldugundan sabitler esit degildir. Bunu ozdeslik sanmak, dagitmadaki sabit terimi kontrol etmemekten kaynaklanir.

YanlışDoğru cevap: C — 3

y katsayilari her iki denklemde de −3 oldugundan yok etme icin cikarma yapilir: (5x − 3y) − (3x − 3y) = 1 − (−3) → 2x = 4 → x = 2. x = 2'yi ilk denkleme koy: 5·2 − 3y = 1 → 10 − 3y = 1 → −3y = −9 → y = 3.

Katsayilar ayni isaretli (her ikisi −3y) oldugunda yok etmek icin toplama degil CIKARMA yapilir. Bunlari toplarsan y yok olmaz, hata olusur.

YanlışDoğru cevap: C — 8

Bugun ogul x, baba 44 − x olsun. 6 yil sonra ogul x + 6, baba (44 − x) + 6 = 50 − x olur. Kosul: 50 − x = 3(x + 6) → 50 − x = 3x + 18 → 50 − 18 = 3x + x → 32 = 4x → x = 8. Kontrol: baba bugun 36; 6 yil sonra baba 42, ogul 14; 42 = 3·14 saglanir. Ogulun bugunku yasi 8'dir.

Yas problemlerinde 'yil sonra' ifadesinde HER iki kisiye de ayni yil eklenir; yalnizca ogula eklemek yaygin hatadir. Ayrica kat kosulu 6 yil sonraki yaslara uygulanmalidir.

YanlışDoğru cevap: D — 4

Sol taraf: −3·2 + (−3)·(−x) + 4 = −6 + 3x + 4 = 3x − 2. Sag taraf: 2x + 2. Denklem: 3x − 2 = 2x + 2 → 3x − 2x = 2 + 2 → x = 4. Kontrol: −3(2 − 4) + 4 = −3·(−2) + 4 = 6 + 4 = 10 ve 2(4 + 1) = 10; saglanir.

−3(2 − x) dagitiminda −3·(−x) = +3x olur; isaret carpimini (eksi × eksi = arti) atlamak yanlis katsayi verir.

YanlışDoğru cevap: B — 27

Kiz/erkek = 4/5 oldugundan kiz = 4k, erkek = 5k. 3 kiz katilinca esitlik: 4k + 3 = 5k → k = 3. Bu durumda kiz = 12, erkek = 15, ilk mevcut = 12 + 15 = 27.

Oran 4/5 iken kiz = 4, erkek = 5 almak hatadir; ortak carpan k ile 4k ve 5k yazilir. Ayrica 'esitleniyor' kosulu yeni kiz sayisi 4k + 3'e uygulanir.

YanlışDoğru cevap: E — 24

Sonsuz cozum, iki denklemin ayni dogruyu temsil etmesi demektir; yani tum katsayi ve sabit oranlari esit olmalidir: 2/4 = 3/6 = 12/m. 2/4 = 1/2 oldugundan 12/m = 1/2 → m = 24. Gercekten 4x + 6y = 24, ilk denklemin 2 katidir; ayni dogruyu verir.

Sonsuz cozum icin sabit terim de orana katilir (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂). Sabiti disarida birakip m = 12 secmek, aslinda cozumsuzluk kosuluyla karistirmaktir.

YanlışDoğru cevap: A — 25

Ardisik uc tam sayi x, x + 1, x + 2 olsun. Toplam: x + (x + 1) + (x + 2) = 72 → 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Sayilar 23, 24, 25 olup en buyugu 25'tir.

Ardisik tam sayilar x, x + 1, x + 2 ile ifade edilir (1'er artar). Ardisik cift/tek gibi 2'ser artiran modeli uygulamak burada yanlistir.

YanlışDoğru cevap: D — 8

Iceler disarlar carpimi (capraz carpim) uygulanir: 3·(x + 2) = 5·(x − 2) → 3x + 6 = 5x − 10. Bilinmeyenler bir tarafa: 6 + 10 = 5x − 3x → 16 = 2x → x = 8. Kontrol: 3/(8−2) = 3/6 = 1/2 ve 5/(8+2) = 5/10 = 1/2; esittir.

Orantida capraz carpim yapilirken 3(x + 2) = 5(x − 2) kurulur; paydalar dogrudan esitlenemez. Ayrica dagitimda 5·(−2) = −10 isareti onemlidir. Sonuc 2x = 16'dan x = 8'dir, x = 16 degil.

YanlışDoğru cevap: B — 4

x = 10 − 2y yazilir; x > 0 ve y > 0 pozitif tam sayi kosulu aranir. y = 1 → x = 8; y = 2 → x = 6; y = 3 → x = 4; y = 4 → x = 2; y = 5 → x = 0 (pozitif degil, elenir). Gecerli ikililer: (8,1), (6,2), (4,3), (2,4) olmak uzere 4 tanedir.

Pozitif tam sayi kosulunda x = 0 ve y = 0 durumlari sayilmaz; y = 5'te x = 0 cikar ve elenmelidir. 'Pozitif' ile 'negatif olmayan' kavramlarini karistirmak fazladan cozum sayar.