Matematik
KPSS Analitik Geometri — Çözümlü Sorular
Koordinat düzlemi, iki nokta arası uzaklık, doğru denklemi ve eğim.
Bu konunun anlatımı da hazır: Analitik Geometri — Koordinat Düzleminde Nokta, Doğru ve Üçgen
16 soru — hepsi çözümlü
Şıkka dokun; doğru cevabı, gerekçesini ve yanlış şıkkın tuzağını görürsün.
- 1.
Analitik düzlemde A(1, 2) ve B(7, 10) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasının orta noktası M ise, orijin O(0, 0) ile M arasındaki uzaklık kaç birimdir?
YanlışDoğru cevap: A — 2√13
Orta nokta M, uç noktaların koordinat ortalamasıdır: M = ((1+7)/2, (2+10)/2) = (4, 6). Orijin O(0,0) ile M(4,6) arası uzaklık √((4−0)² + (6−0)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13 birimdir.
Orta nokta bulunurken koordinatlar toplanıp ikiye bölünür; fark alınırsa (ör. (3,4)) yanlış olur. Ayrıca uzaklıkta karekök adımı atlanıp 52 seçilebilir.
- 2.
Analitik düzlemde A(−2, 1) ve B(3, 13) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
YanlışDoğru cevap: B — 13
İki nokta arası uzaklık √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) formülüyle bulunur. Δx = 3−(−2) = 5, Δy = 13−1 = 12. |AB| = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 birim.
Negatif koordinatta 3−(−2) = 5 olur; öğrenci 3−2 = 1 alıp Δx'i yanlış hesaplar veya farkları karelemeden toplayarak 5+12 = 17 der.
- 3.
A(−4, 7) ve B(6, −3) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: A — (1, 2)
Orta nokta M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2) ile bulunur. x: (−4+6)/2 = 2/2 = 1, y: (7+(−3))/2 = 4/2 = 2. Orta nokta (1, 2)'dir.
Orta noktada koordinatlar çıkarılmaz, toplanıp 2'ye bölünür. Öğrenci farkı alıp (fark/2) hesaplayarak yanlış nokta bulur ya da y'de 7−3 yerine 7+(−3) ayrımını karıştırır.
- 4.
A(−3, 5) ve B(2, −5) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
YanlışDoğru cevap: B — −2
Eğim m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) formülüyle bulunur. m = (−5 − 5)/(2 − (−3)) = (−10)/(5) = −2.
Eğim Δy/Δx'tir; öğrenci payda-payı ters yazıp (2−(−3))/(−5−5) = 5/−10 = −1/2 bulur ya da paydada 2−(−3) = 5 yerine 2−3 = −1 alır.
- 5.
Eğimi 3 olan ve A(2, −1) noktasından geçen doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
YanlışDoğru cevap: A — −7
Doğru y = mx + b biçimindedir, m = 3. Nokta yerine yazılır: −1 = 3·2 + b → −1 = 6 + b → b = −7. y eksenini (0, −7)'de keser; ordinat −7'dir.
b bulunurken −1 = 6 + b denkleminden b = −1 − 6 = −7 çıkar. Öğrenci b = 6 − 1 = 5 ya da b = 6 + 1 = 7 gibi işaret hatası yapar.
- 6.
y = 2x − 4 doğrusuna dik olan ve B(4, 1) noktasından geçen doğrunun y eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: D — (0, 3)
Verilen doğrunun eğimi 2'dir. Dik doğrunun eğimi m₁·m₂ = −1'den m₂ = −1/2 olur. y = −(1/2)x + b, B(4, 1) yerine: 1 = −(1/2)·4 + b → 1 = −2 + b → b = 3. Doğru y eksenini (0, 3)'te keser.
Dik doğrunun eğimi ters işaretli terstir; öğrenci m₂ = −2 (yalnız işaret) veya m₂ = 1/2 (yalnız ters) alır. Ayrıca 1 = −2 + b'den b = 3 yerine b = −1 (b = 1−2) hatası yapılır.
- 7.
Aşağıdaki doğru çiftlerinden hangisi birbirine paralel DEĞİLDİR?
YanlışDoğru cevap: C — y = 4x + 1 ile 6x − 2y = 3
Paralellik için eğimler eşit olmalıdır (standart formda m = −A/B). A: her ikisi de m=3, paralel. B: 2x−y=4 → y=2x−4, m=2; diğeri m=2, paralel. D: m=−1 ve x+y=6 → y=−x+6, m=−1, paralel. E: m=1/2 ve x−2y=8 → y=(1/2)x−4, m=1/2, paralel. C: y=4x+1 → m=4; 6x−2y=3 → −2y=−6x+3 → y=3x−3/2, m=3. C'deki iki doğrunun eğimleri (4 ve 3) EŞİT DEĞİLDİR, dolayısıyla paralel olmayan tek çift C'dir.
Standart formu (Ax+By=C) eğim–kesim formuna çevirmeden karar vermek hataya yol açar. 6x−2y=3'te her iki tarafı −2'ye bölerken katsayıyı yanlış (m=4) hesaplamak yaygın hatadır; doğrusu m=3'tür.
- 8.
Köşeleri A(1, 1), B(5, 1) ve C(3, 6) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
YanlışDoğru cevap: E — 10
AB kenarı y = 1 doğrusu üzerinde yatay olduğundan taban |AB| = 5 − 1 = 4 birimdir. Yükseklik, C noktasının bu tabana dik uzaklığıdır: |6 − 1| = 5. Alan = (1/2)·taban·yükseklik = (1/2)·4·5 = 10 birimkare.
Yatay tabanda taban uzunluğu apsis farkıdır (5−1=4), yükseklik ise ordinat farkıdır (6−1=5). Öğrenci tabanı yanlışlıkla köşegen uzunluğu alır ya da yüksekliği 6 (C'nin ordinatı) sanıp (1/2)·4·6 = 12 der.
- 9.
2x − 3y + 12 = 0 doğrusu x eksenini P, y eksenini Q noktasında kesiyor. O başlangıç noktası olmak üzere OPQ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
YanlışDoğru cevap: A — 12
x ekseni kesim (y=0): 2x + 12 = 0 → x = −6, P(−6, 0), |OP| = 6. y ekseni kesim (x=0): −3y + 12 = 0 → y = 4, Q(0, 4), |OQ| = 4. Eksenler dik olduğundan OPQ dik üçgen: Alan = (1/2)·|OP|·|OQ| = (1/2)·6·4 = 12 birimkare.
x kesimi için y=0, y kesimi için x=0 yazılır; öğrenci bunları karıştırır. Ayrıca P(−6,0) olsa da uzunluk |OP|=6 (mutlak değer) alınır, işaretli −6 kullanılmaz.
- 10.
A(a, 3) ve B(1, 7) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, a'nın alabileceği pozitif değer kaçtır?
YanlışDoğru cevap: C — 4
|AB| = √((1−a)² + (7−3)²) = 5. Karesi alınır: (1−a)² + 16 = 25 → (1−a)² = 9 → 1−a = ±3. Buradan 1−a = 3 → a = −2 veya 1−a = −3 → a = 4. Pozitif değer a = 4'tür.
Karekökten çıkarken ± iki durum vardır; öğrenci yalnız bir kökü alır. Ayrıca (1−a)² = 9'dan 1−a = ±3 gelir, doğrudan a = 3 yazmak yanlıştır.
- 11.
Bir doğru A(−1, 2) ve B(3, k) noktalarından geçmektedir. Bu doğru, eğimi 1/2 olan bir doğruya dik olduğuna göre k kaçtır?
YanlışDoğru cevap: E — −6
Eğimi 1/2 olan doğruya dik olan doğrunun eğimi m₁·m₂ = −1'den m = −2'dir. AB doğrusunun eğimi: (k − 2)/(3 − (−1)) = (k − 2)/4 = −2 → k − 2 = −8 → k = −6.
Dik eğim −2'dir (ters işaretli ters: 1/2 → −2), yalnız −1/2 almak hatadır. Paydada 3−(−1)=4 olur; 3−1=2 alınırsa denklem bozulur.
- 12.
y = mx + 3 doğrusu (2, 9) noktasından geçmektedir. Bu doğru ile ilgili aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR?
YanlışDoğru cevap: D — x eksenini (1, 0)'da keser.
(2, 9) yerine: 9 = m·2 + 3 → 2m = 6 → m = 3, doğru y = 3x + 3. A: m=3, doğru. B: b=3 → (0,3), doğru. C: x=1 için y=3·1+3=6, (1,6) geçer, doğru. E: y=3x−4 eğimi 3, eğimler eşit, paralel, doğru. D: x eksenini kesim y=0 → 0=3x+3 → 3x=−3 → x=−1, yani nokta (−1, 0)'dır, (1, 0) değildir. Bu nedenle YANLIŞ ifade D'dir.
x eksenini kesim y=0 yazılarak bulunur: 0=3x+3 → 3x=−3 → x=−1. Öğrenci 3x=3 → x=1 (işaret hatası) yaparak (1,0) noktasını doğru sanır.
- 13.
A(1, 2) ve B(4, 2) sabit köşeler; C(x, 6) ise x değeri değiştikçe kayan bir köşe olsun. Bu üç nokta bir üçgen oluşturduğunda, alanın x'in her değeri için sabit kalmasının nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: B — AB tabanı x eksenine paralel olduğundan yükseklik yalnız ordinat farkına (6−2=4) bağlıdır ve x'ten bağımsızdır.
AB kenarı y=2 üzerinde yatay (x eksenine paralel), uzunluğu |4−1|=3'tür. Bir üçgende taban sabitken alan yalnız yüksekliğe bağlıdır; yükseklik ise C'nin tabana (y=2 doğrusuna) dik uzaklığıdır: |6−2|=4. Alan=(1/2)·3·4=6. C'nin x'i taban boyunca yatay kaydığından yüksekliği (dik uzaklığı) değiştirmez, bu yüzden alan sabit kalır. Doğru açıklama B'dir.
Bir kenar eksene paralelse yükseklik yalnız dik yöndeki koordinat farkıdır; öğrenci C kayarken alanın değiştiğini sanır ya da tabanı dikey (D şıkkı) zanneder.
- 14.
Bir doğrunun eğimi −3/4 ve y eksenini (0, 6) noktasında kesmektedir. Bu doğrunun x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
YanlışDoğru cevap: D — 8
Doğru y = −(3/4)x + 6. x eksenini kesim y=0: 0 = −(3/4)x + 6 → (3/4)x = 6 → x = 6·(4/3) = 24/3 = 8. Apsis 8'dir.
y=0 çözülürken (3/4)x = 6 → x = 6·4/3 = 8 olur. Öğrenci 6·3/4 = 4,5 (eğimin tersiyle çarpmayı karıştırma) ya da işaret hatası yaparak −8 der.
- 15.
Aşağıdaki doğrulardan hangisinin eğimi tanımsızdır (eğim bulunamaz)?
YanlışDoğru cevap: E — x = −2
Eğim m = Δy/Δx'tir. Dikey doğrularda (x = sabit) tüm noktaların apsisi aynı olduğundan Δx = 0 olur ve paydada 0 bulunacağından eğim tanımsızdır. x = −2 dikey bir doğrudur, eğimi tanımsızdır. A ve D yatay doğrudur (m=0), B ve C'nin eğimi belirlidir.
Yatay doğru (y=sabit) eğimi 0'dır, tanımsız değildir; tanımsız eğim yalnız dikey doğrularda (x=sabit) olur. Öğrenci y=5'i tanımsız sanır.
- 16.
A(−2, −1), B(4, −1) ve C(4, 7) noktaları bir dik üçgenin köşeleridir. Bu üçgenin hipotenüsü (en uzun kenarı) kaç birimdir?
YanlışDoğru cevap: C — 10
AB yatay: |AB| = |4−(−2)| = 6. BC dikey: |BC| = |7−(−1)| = 8. Dik açı B(4,−1) köşesindedir (AB yatay, BC dikey). Hipotenüs AC'dir: |AC| = √((4−(−2))² + (7−(−1))²) = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 birim.
Hipotenüs dik kenarların toplamı (6+8=14) değildir; Pisagor ile √(6²+8²)=10 bulunur. Ayrıca dik kenarlardan birini (8) hipotenüs sanmak hatadır.
Sık sorulanlar
- KPSS Analitik Geometri konusundan ne çıkıyor?
- Koordinat düzlemi, iki nokta arası uzaklık, doğru denklemi ve eğim.
- Analitik Geometri sorularının çözümü var mı?
- Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.