KPSS Temel Kavramlar — Çözümlü Sorular

YanlışDoğru cevap: A — 6

A, 5'e bölününce 3 kalanı verir (A = 5k + 3), 7'ye bölününce 4 kalanı verir (A = 7m + 4). Bu iki koşulu birlikte sağlayan en küçük pozitif değer 18'dir: 18 = 5·3 + 3 ve 18 = 7·2 + 4. Çözümler 5 ile 7'nin en küçük ortak katı olan 35 periyoduyla tekrarlar: A = 35t + 18, yani 18, 53, 88, 123, 158, ... Üç basamaklı en küçük değer için 35t + 18 ≥ 100 olmalıdır; t = 3 için A = 105 + 18 = 123 (t = 2'de 88 iki basamaklıdır). Kontrol: 123 = 5·24 + 3 ✓ ve 123 = 7·17 + 4 ✓. Rakamları toplamı 1 + 2 + 3 = 6'dır.

Çin kalan tipli sorularda önce iki koşulu birlikte sağlayan en küçük değer bulunur, sonra bölenlerin ortak katı (35) periyoduyla ilerlenir; koşulları ayrı ayrı deneyip birleştirmemek hataya yol açar.

YanlışDoğru cevap: A — 6

Sayı 5'e bölününce 3 kalanı verdiğinden 5k+3, 7'ye bölününce 4 kalanı verenler ise 4, 11, 18, 25, ... biçimindedir. Her iki koşulu birlikte sağlayan en küçük değer 18'dir (18=5·3+3 ve 18=7·2+4); genel çözüm 18 + 35t biçimindedir (ekok(5,7)=35). Üç basamaklı en küçük değer için 18+35t ≥ 100 olmalıdır: t=3 için 18+105=123. 123'ün 5'e bölümünden kalan 3, 7'ye bölümünden kalan 4'tür (7·17=119, 123−119=4). Rakamlar toplamı 1+2+3=6'dır.

Öğrenci ortak fark 35'i (ekok) atlayıp iki basamaklı ilk çözümü (18) doğrudan işaretliyor ya da 'üç basamaklı en küçük' koşulunu gözden kaçırıyor.

YanlışDoğru cevap: B — 6

Kare fayans kenarı, 24 ile 36’yı tam bölmelidir; en büyük kare için kenar = EBOB(24, 36) olmalıdır. 24 = 2³·3, 36 = 2²·3² olduğundan EBOB = 2²·3 = 12 cm. Kısa kenarda 24/12 = 2, uzun kenarda 36/12 = 3 fayans olur. Toplam fayans = 2·3 = 6. Doğru yanıt 6’dır.

En büyük kareyi bulmak için EBOB kullanılır; EBOB’u (12) doğrudan yanıt sanmak hatadır. Fayans sayısı, her kenardaki fayans adetlerinin çarpımıdır.

YanlışDoğru cevap: B — 3

Panoların tekrar aynı anda yanması için geçen süre EKOK(12, 18)'dir. 12 = 2²·3, 18 = 2·3² olduğundan EKOK = 2²·3² = 36 saniye. Birinci pano 12 saniyede bir yandığına göre 36 saniye içinde 36 / 12 = 3 kez yanar (12., 24. ve 36. saniyelerde).

Ortak yanma anı EKOK ile bulunur; süreyi periyoda bölerek yanma sayısı hesaplanır, EBOB kullanılmaz.

YanlışDoğru cevap: B — 405

Rakamları farklı ve toplamı 6 olan üç basamaklı sayıların EN BÜYÜĞÜ için yüzler basamağını olabildiğince büyük seçeriz. Yüzler 6 olursa kalan iki rakam farklı ve toplamı 0 olamaz (0 ve 0 aynı olur), bu yüzden yüzler en çok 5 olur: 5, 1, 0 → en büyük yerleşim 510 (5+1+0=6). EN KÜÇÜK için yüzler en küçük (0 olamaz) 1 seçilir, sonra küçükten büyüğe: 1, 0, 5 → 105. Fark = 510 − 105 = 405.

Öğrenci ‘rakamları farklı’ koşulunu gözden kaçırıp en büyüğü 600, en küçüğü 006 alır ya da yerleşimi yanlış yapar.

YanlışDoğru cevap: D — 15

Sayı 4A0 biçimindedir; birler basamağı 0 olduğundan 5 ile bölünebilme koşulu her A değeri için sağlanır. 3 ile bölünebilme için rakamlar toplamı (4 + A + 0 = 4 + A) 3’ün katı olmalıdır: A = 2, 5, 8 için 4+A sırasıyla 6, 9, 12 olur ve hepsi 3’ün katıdır. Rakamların birbirinden farklı olması koşulu (A, hem 4’ten hem 0’dan farklı) bu üç değerin tümünde sağlanır. 420, 450 ve 480 sayıları hem 3’e hem 5’e bölünür ve rakamları farklıdır. Buna göre A ∈ {2, 5, 8} olup toplamları 2 + 5 + 8 = 15’tir.

Öğrenci 5’e bölünmede son rakama, 3’e bölünmede rakam toplamına bakılacağını karıştırır ya da ‘rakamlar farklı’ koşulunu atlar.

YanlışDoğru cevap: A — 141

Rakamları toplamı 8 olan iki basamaklı sayılar: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80. Bunlardan asal olanlar: 17, 53, 71. Diğerleri çifttir ya da bölünür (26=2·13, 35=5·7, 44=4·11, 62=2·31, 80=2^4·5). Toplam: 17 + 53 + 71 = 141.

Öğrenci 71'i gözden kaçırıp yalnızca 17 ve 53'ü toplayarak 70 bulur ya da 80 gibi çift bir sayıyı asal sanır.

YanlışDoğru cevap: C — 29/25

Ardışık üç tek sayı x, x+2, x+4 olsun. Toplamları: x+(x+2)+(x+4)=3x+6=81 → 3x=75 → x=25. Sayılar 25, 27, 29'dur. En büyük/en küçük = 29/25. Doğru yanıt 29/25.

Öğrenci sayıları x, x+1, x+2 (ardışık doğal) alıp tek sayı koşulunu atlar; ardışık tek sayılarda fark 2'dir, bu yüzden x=25 ve oran 29/25 çıkar.

YanlışDoğru cevap: C — Sayılardan biri pozitif, biri negatiftir ve mutlak değerce büyük olan pozitiftir.

a·b < 0 olması, çarpımın negatif olması demektir; bu da sayıların zıt işaretli olduğunu (biri +, biri −) gösterir. a + b > 0 yani toplam pozitif olduğuna göre, pozitif sayının mutlak değeri negatif sayınınkinden büyük olmalıdır (pozitif taraf ağır basmalı). Örneğin a = 5, b = −3: çarpım −15 < 0, toplam 2 > 0. Dolayısıyla mutlak değerce büyük olan sayı pozitiftir; doğru seçenek C'dir.

Çarpımın negatifliği zıt işareti, toplamın pozitifliği ise mutlak değeri büyük olanın pozitif olduğunu belirler. Öğrenci toplamın işaretini büyük mutlak değerin işaretiyle ilişkilendirmeyi atlar (D bu hatadır).

YanlışDoğru cevap: C — 156

İki sayı için EBOB × EKOK = A × B kuralı geçerlidir: A × B = 12 × 360 = 4320. Sayılar 12k ve 12m biçimindedir (k, m aralarında asal). EKOK = 12·k·m = 360 ⇒ k·m = 30. Aralarında asal (k,m) çiftleri: (1,30),(2,15),(3,10),(5,6). Sayılar 12k ve 12m: (12,360),(24,180),(36,120),(60,72). A iki basamaklı, B üç basamaklı olmalı: yalnızca (24,180) ve (36,120) çiftleri bu koşulu sağlar. Toplamlar: 24+180=204 ve 36+120=156. En küçük toplam 156'dır (36 ve 120). Not: her iki çiftte de A·B = 4320 sabittir, bu yüzden ayırt edici ölçüt A+B toplamının en küçük olmasıdır.

EBOB×EKOK = sayıların çarpımı kuralı unutulur; ayrıca k·m çiftlerinin 'aralarında asal' olması gerektiği ve basamak koşulunun çiftleri elediği atlanır.

YanlışDoğru cevap: A — 725

Ardışık üç tek sayı x, x+2, x+4 olsun. Toplam: 3x+6=81 → 3x=75 → x=25. Sayılar 25, 27, 29'dur. En büyük ile en küçüğün çarpımı: 29×25=725. (Ortadaki sayı toplamın üçte biri, 27'dir; kontrol: 25+27+29=81.)

En büyük ile en küçüğün çarpımı sorulurken ortadaki sayının karesi (27²=729) alınmamalıdır; farklı iki sayı çarpılır (29×25=725).

YanlışDoğru cevap: C — 896

Ardışık üç çift sayı x, x+2, x+4 olsun. Toplam: 3x+6=90, 3x=84, x=28. Sayılar 28, 30, 32'dir. En büyük 32, en küçük 28; çarpımları 32×28=896 (C). (Orta terim 30 üzerinden de: 30×3=90 doğrulanır.)

Ardışık çift sayılar 1 değil 2 artar; ayrıca istenen orta sayının değil, en büyük ile en küçüğün çarpımıdır.

YanlışDoğru cevap: C — a'nın b'ye bölümü bir tam sayıdır.

Tam sayılar toplama, çıkarma ve çarpma altında kapalıdır; sonuç daima tam sayıdır (A, B, D doğru). Bir tam sayının karesi 0 veya pozitiftir, negatif olamaz (E doğru). Ancak bölme kapalı değildir: örneğin a = 3, b = 2 için 3/2 = 1,5 tam sayı değildir; ayrıca b = 0 iken bölme tanımsızdır. Dolayısıyla her durumda doğru olmayan ifade C'dir.

Öğrenci tam sayıların bölme altında da kapalı olduğunu sanar; oysa iki tam sayının bölümü çoğu zaman kesir çıkar.

YanlışDoğru cevap: C — 3

AB = 10A + B, BA = 10B + A. Koşul: BA − AB = 27, yani (10B + A) − (10A + B) = 27. Bu 9B − 9A = 27, yani 9(B − A) = 27 verir. Buradan B − A = 3 bulunur.

Öğrenci 27'yi doğrudan B − A sanar ya da 9 ile bölmeyi unutur; çözümlemeyi (10A+B) biçiminde kurmadan sezgiyle ilerler.

YanlışDoğru cevap: E — x³

x negatif olsun (örneğin x = −2). x² = 4 pozitif; −x = 2 pozitif; x⁴ = 16 pozitif; x²·(−x) = 4·2 = 8 pozitif. Ancak x³ = (−2)³ = −8 negatiftir. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir. Dolayısıyla pozitif olmak zorunda olmayan ifade x³'tür.

Öğrenci tüm kuvvetleri pozitif sanar ya da tek/çift kuvvet ayrımını yapmadan x³'ü de x² gibi pozitif kabul eder.

YanlışDoğru cevap: A — 15

3 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı: 3 + 5 + A + 2 = 10 + A. 10 + A'nın 3'ün katı olması için A ∈ {2, 5, 8} olmalı (10+2=12, 10+5=15, 10+8=18). Bu rakamların toplamı 2 + 5 + 8 = 15'tir.

Öğrenci A'nın tek bir değerini bulup durur ya da tüm uygun rakamları bulup toplamayı unutur; ayrıca 10+0=10 gibi katı olmayan değerleri eler.

YanlışDoğru cevap: D — 5

Sayı x = 7k + 4 biçimindedir. 3 katı: 3x = 21k + 12. 21k, 7'nin katı olduğundan kalanı etkilemez; 12'nin 7'ye bölümünden kalan 12 = 7·1 + 5, yani 5'tir. Dolayısıyla 3x'in 7'ye bölümünden kalan 5'tir.

Öğrenci kalanı doğrudan 3 ile çarpıp 12 der ve tekrar 7'ye göre indirgemeyi (mod alma) unutur.

YanlışDoğru cevap: C — 35

En büyük eş kare kenarı EBOB(84, 60)'tır. 84 = 2²·3·7, 60 = 2²·3·5; EBOB = 2²·3 = 12 cm. Bir kenarda 84/12 = 7, diğerinde 60/12 = 5 fayans olur. Toplam 7 × 5 = 35 fayans gerekir.

Öğrenci en büyük kare için EKOK kullanır ya da EBOB'u bulup fayans sayısını hesaplamak yerine kenar uzunluğunu cevap sanır.

YanlışDoğru cevap: B — 09:12

Aynı anda tekrar buluşma süresi EKOK(18, 24)'tür. 18 = 2·3², 24 = 2³·3; EKOK = 2³·3² = 72 dakika. 72 dakika = 1 saat 12 dakika. 08:00 + 1 saat 12 dakika = 09:12.

Öğrenci 'aynı anda tekrar' için EBOB kullanır (6 dk çıkar) ya da EKOK'u dakika bulup saat formatına çevirmeyi (72 dk = 1 sa 12 dk) yanlış yapar.

YanlışDoğru cevap: A — a + 3b

a çift, b tek olsun (örneğin a = 2, b = 1). A: a + 3b = çift + (3·tek = tek) = çift + tek = tek (kesin tek). B: a·b = çift·tek = çift. C: a + b + 1 = (çift+tek) + 1 = tek + 1 = çift. D: a² çifttir, 4b çifttir; çift + çift = çift. E: b² − b = tek − tek = çift (ardışık iki sayının çarpımı gibi b(b−1) daima çifttir). Sayısal kontrol (a=2, b=1): A=5(tek), B=2, C=4, D=8, E=0. Yalnızca A kesinlikle tektir.

Öğrenci çift·tek çarpımını (B) tek sanar ya da a² + 4b'de a²'nin çift olduğunu unutup tek zanneder; çift sayının karesi de çifttir, 4b ise daima çifttir.

YanlışDoğru cevap: E — 820

1 + 2 + ... + n = n·(n + 1)/2 formülü kullanılır. n = 40 için: 40·41/2 = 1640/2 = 820.

Öğrenci formülü n·(n−1)/2 ya da n²/2 biçiminde yanlış hatırlar; ayrıca 40·41'i yanlış çarpar.

YanlışDoğru cevap: E — 5132

4 kuralı: son iki basamak 4'ün katı. 3 kuralı: rakamlar toplamı 3'ün katı. A) 1236: son iki '36' (4·9=36) 4'ün katı; toplam 1+2+3+6=12, 3'ün katı → 3'e bölünür (elenir). B) 2508: '08' 4'ün katı; 2+5+0+8=15, 3'ün katı → elenir. C) 3120: '20' 4'ün katı; 3+1+2+0=6, 3'ün katı → elenir. D) 4116: '16' 4'ün katı; 4+1+1+6=12, 3'ün katı → elenir. E) 5132: '32' 4'ün katı (4·8=32) → 4'e bölünür; 5+1+3+2=11, 3'ün katı değil → 3'e bölünMEZ. Cevap E.

Öğrenci 4 kuralı için tüm sayıya, 3 kuralı için son basamağa bakmak gibi kuralları karıştırır; iki koşulu aynı anda kontrol etmeyi atlar.

YanlışDoğru cevap: B — −8

İşlem önceliğine dikkat: −3² ifadesinde üs önce yalnızca 3'e uygulanır, eksi dışarıdadır: −3² = −(9) = −9. (−3)² parantezli olduğundan tüm −3 kare alınır: (−3)² = 9. 2³ = 8. Toplam: −9 + 9 − 8 = −8.

Öğrenci −3²'yi de parantezliymiş gibi +9 alır; parantezsiz eksi üsse dahil değildir, sonuç işaret hatasıyla değişir.

YanlışDoğru cevap: B — 22

Her iki durumda da bölen ile kalan arasındaki fark eşittir: 6 − 4 = 2 ve 8 − 6 = 2. Bu durumda sayı, EKOK(6, 8)'in katından 2 eksiktir. EKOK(6, 8) = 24. En küçük pozitif değer: 24 − 2 = 22. Kontrol: 22 = 6·3 + 4 (kalan 4 ✓), 22 = 8·2 + 6 (kalan 6 ✓).

Öğrenci ortak kalan farkı (bölen−kalan=2) örüntüsünü göremez; EKOK − fark yöntemini bilmeyip tek tek deneme yaparken yanlış değeri seçer.

YanlışDoğru cevap: D — 0 sayısı pozitif bir tam sayıdır.

0 sayısı 2 ile tam bölündüğü için çifttir (A doğru). 0 doğal sayılar kümesinin elemanıdır (B doğru). Her tam sayı a/1 biçiminde yazılabildiğinden rasyoneldir (C doğru). Her sayma sayısı (1,2,3,...) doğal sayıdır (E doğru). Ancak 0 ne pozitif ne negatiftir; işareti nötrdür. Dolayısıyla '0 pozitif bir tam sayıdır' ifadesi yanlıştır. Cevap D.

Öğrenci 0'ı pozitif ya da negatif bir sayı sanar; oysa 0'ın işareti yoktur, yalnızca çifttir.

YanlışDoğru cevap: D — 1920

İki pozitif tam sayı için altın kural: EBOB × EKOK = iki sayının çarpımı. Buna göre çarpım = 8 × 240 = 1920.

Öğrenci EBOB ile EKOK'u toplar (248) ya da çarpım kuralını bilmeyip sayıları tek tek bulmaya çalışırken hata yapar.

YanlışDoğru cevap: A — 4

11 ile bölünebilme kuralı: sağdan (birler basamağından) başlayıp +,−,+ işaretleriyle alınan alternatif toplam 0 ya da 11'in katı olmalıdır. 8A7 sayısında birler = 7, onlar = A, yüzler = 8. Alternatif toplam (birler − onlar + yüzler) = 7 − A + 8 = 15 − A. Bu değerin 11'in katı olması için 15 − A = 11, yani A = 4 olmalıdır (15 − A = 0 ise A = 15 olur, bu bir rakam değildir; 15 − A = 22 imkânsız). A = 4 için sayı 847 = 11·77 olur, tam bölünür. Cevap A = 4.

Öğrenci 11 kuralında işaretlere birler basamağından (+) başlamayı şaşırır ya da alternatif toplamı yanlış kurar.