Özel Üçgenler sorularının çözümü var mı?

Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

Matematik

KPSS Özel Üçgenler — Çözümlü Sorular

Dik, ikizkenar, eşkenar üçgenler; açı-kenar ve benzerlik.

Bu konunun anlatımı da hazır: Özel Üçgenler — Açı Bağıntıları, Dik Üçgenler ve Benzerlik

23 soru — hepsi çözümlü

Şıkka dokun; doğru cevabı, gerekçesini ve yanlış şıkkın tuzağını görürsün.

23 sorudan 0 tanesi cevaplandıSkor: 0/23

1.
Bir ABC üçgeninde A açısı 90°, B açısı 30°'dir. A köşesinden BC kenarına indirilen dik ayak H olsun. |AB| = 6 cm ise |AH| kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: C — 3
A = 90°, B = 30° olduğundan C = 60°'dir. Bu 30-60-90 üçgeninde A açısına komşu dik kenarlardan biri AB = 6'dır. Diğer dik kenar AC = AB·tan(30°) = 6·(1/√3) = 2√3, hipotenüs BC = AB/cos(30°) = 6/(√3/2) = 4√3'tür. A köşesinden hipotenüs BC'ye inilen yükseklik için dik üçgende AH = (dik kenarların çarpımı)/hipotenüs = (AB·AC)/BC = (6·2√3)/(4√3) = 12√3/4√3 = 3 cm'dir. Alan yöntemiyle de aynı sonuç bulunur: Alan = (1/2)·6·2√3 = 6√3 ve Alan = (1/2)·4√3·AH olduğundan AH = 3 cm.
Dik üçgende dik köşeden hipotenüse inilen yükseklik AH = (dik kenarlar çarpımı)/hipotenüs formülüyle bulunur; öğrenci sıklıkla bunu bir dik kenarla karıştırır.
2.
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri x−10, 2x ve 3x−20 derece biçimindedir. Buna göre bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: D — 85
Üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir: (x−10) + 2x + (3x−20) = 180 → 6x − 30 = 180 → 6x = 210 → x = 35. Açılar: x−10 = 25°, 2x = 70°, 3x−20 = 3·35−20 = 105−20 = 85°'dir. En büyük açı 85°'dir (25+70+85 = 180 doğrular).
Öğrenci açı toplamını 180 yerine 360 alıyor ya da 'en büyük'ü belirlerken üç değeri hesaplamadan katsayısı en büyük terimi (3x−20) değil de 2x'i işaretliyor.
3.
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm’dir. Bu üçgende, dik açının karşısındaki kenara (hipotenüse) dik açının bulunduğu köşeden indirilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm’dir?
YanlışDoğru cevap: C — 4,8
Önce hipotenüs bulunur: hipotenüs = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm. Dik üçgenin alanı iki dik kenarla hesaplanır: Alan = (6·8)/2 = 24 cm². Aynı alan, hipotenüs taban alınarak da yazılır: Alan = (hipotenüs · yükseklik)/2 = (10·h)/2 = 5h. Buradan 5h = 24 → h = 24/5 = 4,8 cm. Dolayısıyla yükseklik 4,8 cm’dir.
Hipotenüse ait yükseklik, dik kenarların ortalaması ya da hipotenüsün yarısı değildir; alan eşitliğinden (iki dik kenarla ve hipotenüs-yükseklikle) bulunur.
4.
Bir kenar uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: E — 3√3
Eşkenar üçgende yükseklik kenarı ikiye böler; taban yarısı 3 cm olur. Yükseklik h, dik üçgende h² + 3² = 6² → h² = 36 − 9 = 27 → h = √27 = 3√3 cm'dir. (Formül olarak h = a√3/2 = 6√3/2 = 3√3.)
Yükseklik kenar uzunluğuna eşit (6) sanılır veya a√3 formülü yanlış hatırlanıp 6√3 seçilir; doğru formül a√3/2 olduğundan sonuç 3√3'tür.
5.
Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, dik kenarlardan biri 7 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
YanlışDoğru cevap: A — 84
Diğer dik kenar b olsun. Pisagor: b²=25²-7²=625-49=576 → b=√576=24 cm. Dik üçgenin alanı, iki dik kenarın çarpımının yarısıdır: (7×24)/2=168/2=84 cm². Doğru yanıt 84.
Öğrenci hipotenüsü yükseklik/taban gibi kullanıp alanı (7×25)/2=87,5 sanır; oysa alan İKİ DİK KENARIN çarpımının yarısıdır, önce diğer dik kenar (24) bulunmalı, alan 84'tür.
6.
Bir ikizkenar üçgende tepe açısı, taban açılarından birinin 3 katıdır. Buna göre tepe açısının ölçüsü kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: D — 108
İkizkenar üçgende taban açıları eşittir; her birine x diyelim. Tepe açısı taban açısının 3 katı olduğundan tepe açısı = 3x. İç açılar toplamı 180°: x + x + 3x = 180 → 5x = 180 → x = 36°. Taban açıları 36°'şer, tepe açısı ise 3·36 = 108°'dir. Doğru yanıt D'dir.
İkizkenar üçgende eşit olan iki taban açısıdır; tepe açısı ayrı ele alınır. "Taban açısının 3 katı" ifadesinde katsayı tepe açısına aittir. Öğrenci bilinmeyeni tepe açısına atayıp denklemi ters kurarsa 36°'yi (A) yanlışlıkla seçer.
7.
Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, bir dik kenar 7 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?
YanlışDoğru cevap: E — 84
Pisagor bağıntısıyla diğer dik kenar bulunur: 25²=7²+b² → 625=49+b² → b²=576 → b=24 cm (7-24-25 dik üçgeni). Dik üçgenin alanı, iki dik kenarın çarpımının yarısıdır: (7×24)/2 = 168/2 = 84 cm².
Alan hesaplanırken iki dik kenarın çarpımı ikiye bölünmelidir; bölme unutulursa 168 bulunur. Ayrıca hipotenüs bir kenar sanılıp alana katılmamalıdır.
8.
Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar (hipotenüs) 13 cm, dik kenarlardan biri 5 cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: B — 30
Dik üçgende Pisagor bağıntısıyla diğer dik kenar bulunur: 13²=5²+a², 169=25+a², a²=144, a=12. Kenarlar 5, 12 ve 13'tür. Çevre kenarların toplamıdır: 5+12+13=30 cm (B).
Çevre için üçüncü kenar hipotenüsten değil, Pisagor ile bulunur; 13−5=8 gibi çıkarma yapmak yanlıştır.
9.
Bir ABC üçgeninde A açısı 40°, C açısı ise B açısının 3 katıdır. Buna göre C köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: A — 75
İç açılar toplamı 180°: A + B + C = 180 → 40 + B + 3B = 180 → 4B = 140 → B = 35°, C = 3 × 35 = 105°. C köşesinin dış açısı = 180 − C = 180 − 105 = 75°. (Alternatif: dış açı = uzak iki iç açı = A + B = 40 + 35 = 75°.)
Dış açıyı komşu iç açı C = 105 ile karıştırmak; dış açı = 180 − komşu iç açı = uzak iki iç açı toplamıdır.
10.
Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 7 cm ve 11 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu tam sayı olduğuna göre, bu kenar kaç farklı değer alabilir?
YanlışDoğru cevap: C — 13
Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar x için |11 − 7| < x < 11 + 7 yani 4 < x < 18 olmalıdır. Uç değerler dahil değildir. x tam sayı olduğundan alabileceği değerler 5, 6, 7, ..., 17'dir. Bu değerlerin sayısı 17 − 5 + 1 = 13'tür.
4 ve 18 uç değerleri üçgen oluşturmaz; aralık açıktır. Ayrıca değer sayısını 'son − ilk' (17−5=12) diye eksik saymak yaygın hatadır; +1 eklenir.
11.
Bir dik üçgende dik kenarlardan biri 9 cm, hipotenüs 15 cm'dir. Buna göre üçgenin çevresi kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: A — 36
Pisagor: diğer dik kenar b için 9² + b² = 15² → 81 + b² = 225 → b² = 144 → b = 12. Bu bir 9-12-15 (yani 3-4-5'in 3 katı) üçgenidir. Çevre = 9 + 12 + 15 = 36 cm.
15² − 9² yerine hipotenüsü dik kenar gibi kullanıp 9² + 15² almak hatalıdır; hipotenüs karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir. 9-12-15 üçlüsü 3-4-5'in katıdır.
12.
Bir dik üçgenin dik açısı C köşesindedir. A açısı 30° ve A açısının karşısındaki BC kenarı 6 cm'dir. Buna göre hipotenüs olan AB kenarı kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: D — 12
C dik açı olduğundan AB hipotenüstür. A = 30° ise B = 60°'dir; bu bir 30-60-90 üçgenidir. 30°'nin karşısındaki kenar (BC = 6) en kısa kenardır ve hipotenüsün yarısıdır. Dolayısıyla hipotenüs AB = 2 × 6 = 12 cm.
30-60-90 üçgeninde 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün YARISIDIR; onu √3 ile çarpmak (6√3) 60° karşısındaki kenarı verir, hipotenüsü değil.
13.
İkizkenar bir ABC üçgeninde AB = AC'dir ve tepe açısı A = 40°'dir. B köşesinin dış açısı kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: C — 110
AB = AC olduğundan taban açıları eşittir: B = C = (180 − 40) / 2 = 70°. B köşesinin dış açısı = 180 − 70 = 110°. (Alternatif: dış açı = uzak iki iç açı = A + C = 40 + 70 = 110°.)
İkizkenar üçgende eşit olan açılar tepe açısı değil, TABAN açılarıdır. Dış açıyı 180'den taban açısını çıkararak veya uzak iki iç açıyı toplayarak bulmak gerekir.
14.
İki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı 3/5'tir. Küçük üçgenin alanı 27 cm² olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
YanlışDoğru cevap: C — 75
Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik (kenar) oranının karesidir. Kenar oranı küçük/büyük = 3/5 ise alan oranı (3/5)² = 9/25'tir. Küçük alan / Büyük alan = 9/25 → 27 / S = 9/25 → S = 27 × 25 / 9 = 75 cm².
Alan oranını kenar oranıyla (3/5) aynı almak en yaygın hatadır; alan oranı kenar oranının KARESİDİR (9/25).
15.
Bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: C — 4√3
Eşkenar üçgende yükseklik h = (a√3) / 2 formülüyle bulunur. a = 8 için h = (8√3) / 2 = 4√3 cm. (Yükseklik tabanı ortaladığından oluşan 30-60-90 üçgeninde 60° karşısı kenardır: taban yarısı 4, hipotenüs 8 → h = 4√3.)
Yüksekliği kenarın yarısı (4) sanmak veya √2 ile çarpmak hatalıdır; eşkenar üçgenin yüksekliği kenar × √3 / 2'dir.
16.
Bir ABC üçgeninde A açısı 50°, B açısı 60°'dir. Kenarlar a (A karşısı), b (B karşısı) ve c (C karşısı) olduğuna göre, bu kenarların küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
YanlışDoğru cevap: A — a < b < c
C açısı = 180 − 50 − 60 = 70°'dir. Açılar A = 50° < B = 60° < C = 70° sırasındadır. Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur; açılar küçükten büyüğe A, B, C olduğundan karşı kenarlar da aynı sırada a < b < c olur.
Kenarı büyük açının değil de küçük açının karşısına yerleştirip ters sıralama yapmak yaygın hatadır. Büyük açı ⇒ büyük kenar.
17.
İkizkenar dik üçgenin (45-45-90) dik kenarlarından her biri 5√2 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: B — 10
45-45-90 üçgeninde hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır. Dik kenar 5√2 ise hipotenüs = 5√2 × √2 = 5 × 2 = 10 cm.
Hipotenüsü yine √2 katı bırakıp 5√2 × √2 çarpımını yapmamak; √2 × √2 = 2 olduğu için sonuç 10'dur, 10√2 değil.
18.
Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgen için aşağıdakilerden hangisi SÖYLENEMEZ?
YanlışDoğru cevap: E — Üçgen bir ikizkenar üçgendir.
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² olduğundan üçgen diktir (A doğru). Dik açı en büyük açıdır ve hipotenüs olan 13'ün karşısındadır (B doğru). Dik kenarlar taban ve yükseklik kabul edilirse alan = (5 × 12)/2 = 30 cm² (C doğru). 13 kenarına ait yükseklik h için alan = (13 × h)/2 = 30 → h = 60/13 cm (D doğru). Üç kenar da farklı (5, 12, 13) olduğundan üçgen çeşitkenardır, ikizkenar DEĞİLDİR; bu yüzden E söylenemez.
5-12-13 bir Pisagor üçlüsüdür ve çeşitkenar dik üçgendir; hiçbir iki kenarı eşit olmadığı için ikizkenar değildir. Dik üçgen olmasını ikizkenarlıkla karıştırmamak gerekir.
19.
Bir ABC üçgeninde DE kenarı BC kenarına paraleldir; D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve DE = 8 cm olduğuna göre BC kenarı kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: D — 20
DE // BC olduğundan ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir. Benzerlik oranı AD / AB = 4 / (4 + 6) = 4/10 = 2/5'tir. Karşılıklı kenarlar bu oranda olduğundan DE / BC = 2/5 → 8 / BC = 2/5 → BC = 8 × 5 / 2 = 20 cm.
Benzerlik oranını AD/DB = 4/6 almak hatalıdır; oran, küçük üçgenin kenarının BÜYÜK üçgenin tam kenarına oranıdır: AD/AB = 4/10.
20.
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 2x, 3x ve 4x biçiminde ifade edilmektedir. Buna göre en büyük açının ölçüsü kaç derecedir?
YanlışDoğru cevap: D — 80
İç açılar toplamı 180° olduğundan 2x + 3x + 4x = 180 → 9x = 180 → x = 20. En büyük açı 4x = 4 × 20 = 80°'dir.
En büyük açıyı x'in kendisi (20) veya 3x sanmak; en büyük katsayı 4x'e karşılık gelir ve x bulunduktan sonra 4 ile çarpılır.
21.
Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü 9 cm ve 4 cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Buna göre bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: B — 6
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik (öklit bağıntısı), hipotenüsü ayırdığı parçaların geometrik ortasıdır: h² = p × k = 9 × 4 = 36 → h = 6 cm.
Yükseklik için parçaları toplamak (9+4=13) ya da yarısını almak hatalıdır; öklit bağıntısında yükseklik parçaların ÇARPIMININ kareköküdür.
22.
Kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve x cm olan bir üçgen için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
YanlışDoğru cevap: B — x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 15'tir.
Üçgen eşitsizliği: |10 − 6| < x < 10 + 6 → 4 < x < 16. Uç değerler (4 ve 16) dahil değildir. Buna göre x = 16 olamaz (A yanlış); x = 4 üçgen oluşturmaz (C ve D yanlış); aralık açık olduğundan uçlar dahil değildir (E yanlış). x'in alabileceği en büyük tam sayı değeri 15'tir (B doğru).
Üçgen eşitsizliğinde 4 ve 16 uç değerlerini aralığa dahil etmek en yaygın hatadır; aralık açıktır, bu yüzden en büyük tam sayı 15, en küçük tam sayı 5'tir.
23.
Bir 30-60-90 üçgeninde 60°'nin karşısındaki kenarın uzunluğu 9√3 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?
YanlışDoğru cevap: C — 18
30-60-90 üçgeninde kenar oranları 1 : √3 : 2'dir (30° karşısı : 60° karşısı : hipotenüs). 60°'nin karşısı √3 birime karşılık 9√3 ise birim (30° karşısı kenar) 9'dur. Hipotenüs 2 birim = 2 × 9 = 18 cm.
60° karşısındaki kenarı hipotenüs sanmak ya da oranı ters kurmak hatalıdır; hipotenüs, en kısa kenarın (30° karşısı) 2 katıdır.

Sık sorulanlar

KPSS Özel Üçgenler konusundan ne çıkıyor?: Dik, ikizkenar, eşkenar üçgenler; açı-kenar ve benzerlik.
Özel Üçgenler sorularının çözümü var mı?: Var — bu sayfadaki her sorunun altında doğru cevap ve gerekçesi yazıyor, yanlış şıkların dayandığı hata da açıklanıyor.

23 soru — hepsi çözümlü

Bir ABC üçgeninde A açısı 90°, B açısı 30°'dir. A köşesinden BC kenarına indirilen dik ayak H olsun. |AB| = 6 cm ise |AH| kaç cm'dir?

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri x−10, 2x ve 3x−20 derece biçimindedir. Buna göre bu üçgenin en büyük iç açısı kaç derecedir?

Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm’dir. Bu üçgende, dik açının karşısındaki kenara (hipotenüse) dik açının bulunduğu köşeden indirilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm’dir?

Bir kenar uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?

Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, dik kenarlardan biri 7 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Bir ikizkenar üçgende tepe açısı, taban açılarından birinin 3 katıdır. Buna göre tepe açısının ölçüsü kaç derecedir?

Bir dik üçgende hipotenüs 25 cm, bir dik kenar 7 cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar (hipotenüs) 13 cm, dik kenarlardan biri 5 cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir?

Bir ABC üçgeninde A açısı 40°, C açısı ise B açısının 3 katıdır. Buna göre C köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?

Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 7 cm ve 11 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu tam sayı olduğuna göre, bu kenar kaç farklı değer alabilir?

Bir dik üçgende dik kenarlardan biri 9 cm, hipotenüs 15 cm'dir. Buna göre üçgenin çevresi kaç cm'dir?

Bir dik üçgenin dik açısı C köşesindedir. A açısı 30° ve A açısının karşısındaki BC kenarı 6 cm'dir. Buna göre hipotenüs olan AB kenarı kaç cm'dir?

İkizkenar bir ABC üçgeninde AB = AC'dir ve tepe açısı A = 40°'dir. B köşesinin dış açısı kaç derecedir?

İki benzer üçgenin karşılıklı kenarlarının oranı 3/5'tir. Küçük üçgenin alanı 27 cm² olduğuna göre büyük üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Bir kenarı 8 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm'dir?

Bir ABC üçgeninde A açısı 50°, B açısı 60°'dir. Kenarlar a (A karşısı), b (B karşısı) ve c (C karşısı) olduğuna göre, bu kenarların küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

İkizkenar dik üçgenin (45-45-90) dik kenarlarından her biri 5√2 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

Kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgen için aşağıdakilerden hangisi SÖYLENEMEZ?

Bir ABC üçgeninde DE kenarı BC kenarına paraleldir; D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerindedir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve DE = 8 cm olduğuna göre BC kenarı kaç cm'dir?

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 2x, 3x ve 4x biçiminde ifade edilmektedir. Buna göre en büyük açının ölçüsü kaç derecedir?

Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü 9 cm ve 4 cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Buna göre bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

Kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve x cm olan bir üçgen için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir 30-60-90 üçgeninde 60°'nin karşısındaki kenarın uzunluğu 9√3 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?

Sık sorulanlar

Matematik — diğer konular